parametrizzazione non inettiva nastro di moebius

Buonasera sto cercando di risolvere il seguente esercizio di geometria, spero che qualcuno mi possa dare una mano.
Ho una parametrizzazione $ f(u,v)=((2+vcosu)cos2u,(2+vcosu)sin2u,vsinu), (u,v)inU, U=mathbb(R)xx(-1,1) $ del nastro di moebius e devo dimostrare che è un diffeomorfismo locale con l'immagine $ S=f(U) $, ovvero che per ogni $ (u,v) inU $ esiste un intorno $V$ tale che $ f|_V $ sia un diffeomorfismo con l'immagine.
Per la risoluzione ho pensato che, in base al teorema di invertibilità locale, basterebbe prendere per ogni punto $ p=(u,v) $ il differenziale $ d_pf:mathbb(R^2)rarr T_f(p)S $ e controllare che sia un isomorfismo lineare. per fare ciò ho pensato di scegliere la base canonica di $mathbb(R^2)$ e la base $ {f_u(p), f_v(p)} $ di $ T_f(p)S $. Il problema è innanzitutto che mi sembra un po' troppo facile (la matrice che mi esce fuori è l'identità per ogni $ p in U $ ), e inoltre che non sono assolutamente sicuro che i vettori $ f_u(p), f_v(p) $ siano linearmente indipendenti e l'unico modo che mi viene in mente per dimostrarlo è impostare l'equazione $ f_u(p)=lambda f_v(p) $ e mostrare che per ogni $ p in U $ fissato non esiste $lambda in mathbb(R)$ che soddisfi l'equazione, tuttavia con questo metodo ho buttato l'intero pomeriggio di ieri senza ottenere significativi risultati quindi mi chiedo se esiste un metodo più veloce.
Ringrazio tutti in anticipo e chiedo scusa se sono stato poco chiaro o se non ho rispettato tutte le regole del forum ma è il primo post che scrivo e mi devo ancora ambientare.