Algebra lineare sistemi

[AndretopC0707]

A proposito di un sistema lineare Ax = b possiamo affermare che:
• se b = 0, esiste almeno una soluzione.
• se A non è una matrice quadrata, la soluzione non è mai unica.
• se le soluzioni sono infinite, la matrice non è quadrata.
• Nessuna delle altre.

Quale è corretta?
Io direi la uno, mentre la due non lo è perché se A non è quadrata, Ax lo può comunque essere no?

Sia A una matrice n × n reale. Quale affermazione è vera?
• Se ogni autovalore di A è reale e regolare si puo trovare in Rn un insieme linearmente indipendente formato da n autovettori di A.
• Le molteplicita` algebrica e geometrica di ciascun autovalore sono uguali se il determinante di A è diverso da 0.
• Ogni autovalore di A è regolare.
• Nessuna delle altre

La risposta corretta è la uno?

Grazie

[AndretopC0707]

Nella prima affermazione mi spiego meglio, ho pensato che la due non possa essere perché se il numero di colonne fosse maggiore del numero di righe trovo un sistema con più equazioni che incognite quindi può amche avere un’unica soluzione se una delle equazioni è conseguenza delle altre e quindi ho un sistema rappresentato da matrice quadrata

[AndretopC0707]

Nel secondo non sono sicuro, potrebbe anche essere la due?

[Bokonon]

Io direi la uno, mentre la due non lo è perché se A non è quadrata, Ax lo può comunque essere no?

Ma stai tirando a caso come Piperita Patty?
Quindi se $Ax$ è quadrata, allora $b$ diventa magicamente una matrice quadrata invece di un vettore?

Perchè non ragioniamo insieme: partiamo dalla semplice considerazione che, per avere almeno una soluzione, $b$ deve essere una combinazione lineare delle colonne di $A$, una matrice generica (nxm).

[AndretopC0707]

L’ho scritto, la prima è vera sicuro perché il vettore nullo è soluzione.
Dato che solo un’opzione può essere giusta, per scartare la due ho pensato che se ad esempio A è 4x3 e x è 3x1 trovo un sistema a 4 equazioni e 3 incognite e quindi può avere un’unica soluzione se un’equazione è combinazione lineare delle altre. Quindi sistema 3x3.

[AndretopC0707]

Nella seconda la prima è vera perché se gli autovalori sono reali e regolari generano Rn.
La seconda quindi deve essere falsa, solo che non saprei come dimostrarlo, ho pensato che una matrice simmetrica ha sicuro autovettori reali e regolari, una quadrata no indipendentemente dal determinante

[Bokonon]

L’ho scritto, la prima è vera sicuro perché il vettore nullo è soluzione.

E fin qua è ok.
Però hai scritto che Ax può essere una matrice quadrata....

Cogli il suggerimento che ho dato...per esempio, per il punto 2, prendo questa combinazione lineare:

$ 2( ( 1 ),( 1 ),( 0 ) )+ 3( ( 0 ),( 0 ),( 1 ) )=( ( 2 ),( 2 ),( 3 ) ) $
Se ti chiedessi qual è la soluzione di $ ( ( 1 , 0 ),( 1 , 0 ),( 0 , 1 ) )( ( x_1 ),( x_2 ) ) =( ( 2 ),( 2 ),( 3 ) ) $ cosa diresti? E quante ce ne sono?

[AndretopC0707]

Sì mi sono spiegato male, quello che intendevo è uguale all’esempio che hai fatto:
Trovo che il sistema è $x1=2$ due volte e $x2=3$ chiaramente un’equazione è ridondante, posso escludere una delle due espressioni $x1=2$, nel caso fosse più complesso e avessi più equazioni e più incognite di due e due equazioni fossero uguali come in questo caso, potrei escluderne una e rimandarmi a un sistema a n equazioni e n incognite, quindi rappresentato da matrice quadrata.
Era questo che intendevo, l’ho espresso molto male.
Grazie

[AndretopC0707]

Potresti spiegarmi perché ( e se) la seconda opzione è falsa nella seconda domanda?
Grazie

[Bokonon]

Potresti spiegarmi perché ( e se) la seconda opzione è falsa nella seconda domanda?
Grazie

Ti ho portato un esempio di un sistema in cui A non è una matrice quadrata eppure esiste una sola soluzione.
$ ( ( 1 , 0 ),( 1 , 0 ),( 0 , 1 ) )( ( x_1 ),( x_2 ) ) =( ( 2 ),( 2 ),( 3 ) ) $
è la medesima cosa di:
$ x_1( ( 1 ),( 1 ),( 0 ) )+ x_2( ( 0 ),( 0 ),( 1 ) )=( ( 2 ),( 2 ),( 3 ) ) $

Se vettore b è nello span dei vettori colonna della matrice allora esiste almeno una soluzione.
Nell'esempio ho scelto appositamente due vettori colonna lin. indip., quindi vi è una sola soluzione.
Pertanto l'affermazione 2 è falsa.

Poi avrei preso la medesima matrice A e avrei aggiunto una terza colonna $(1,1,1)$ rendendola una matrice quadrata e ti avrei chiesto quante soluzioni ci sono. E' chiaro che il vettore b è ancora nell'immagine quindi non ci piove che c'è almeno una soluzione. Però la terza colonna è la somma delle prime due, pertanto la matrice quadrata ha rango 2, ovvero il kernel ha dimensione 1. Pertanto vi sono infinite soluzioni e quesato confuta la terza affermazione dell'esercizio.

Ti complichi la vita in un modo assurdo...ragiona semplicemente e non immaginando riduzioni a matrici quadrate e sistemi. L'algebra lineare è molto più semplice se la vedi come ho scritto sopra...e creerai controesempi in un baleno.