Ricavare la dimensione spazio vettoriale dal numero dei componenti

[Filippo12]

E' giusto dire che il vettore (a,b) appartiene a R^2 e il vettore (a,b,c) appartiene a R^3 ?

Cioè assegnato un vettore, dal numero dei suoi componenti ricavo la dimensione dello spazio vettoriale di appartenenza.

Grazie

[marco2132k]

Cioè assegnato un vettore, dal numero dei suoi componenti ricavo la dimensione dello spazio vettoriale di appartenenza.

No. O meglio: nì.

Sai cos'è uno spazio vettoriale?

[Filippo12]

Li sto studiando (algebra lineare al politecnico) , con tutti teoremi sulle basi, sistemi di generatori etc. Negli esercizi che ho svolto finora mi sembrava fosse una regola (non detta o scritta però! ) per cui la usavo per risolvere meglio i problemi ..perchè mi dici NO ? Puoi farmi un controesempio al mio ? grazie e ciao

[Filippo12]

Grazie, ho capito!

[marco2132k]

Puoi farmi un controesempio al mio ?

Volevo solo aggiungere questo. Lo spazio delle soluzioni dell'omogeneo di
\[
\begin{aligned}
x_1 + 2x_2 - 4x_3 - x_4 &= 32\\
x_1 + 3x_2 - 7x_3 - x_5 &=33\\
x_1 + 2x_3 - 2x_4 + 3x_5 &= 22
\end{aligned}
\] è il sottospazio
\[
\left\{\left(\begin{smallmatrix}x_1\\\vdots\\x_5\end{smallmatrix}\right)\in K^5 : \begin{aligned}x_4 &= -x_5\\x_2 &= 2x_5 + +3x_3\\x_1 &= - 5x_5 -2x_3\end{aligned}\right\}
\] di \( K^5 \), dove ciò significa che ogni vettore soluzione \( x \) è della forma
\[
x =
\left(\begin{smallmatrix}
-3\alpha - 5\beta\\
2\alpha + 3\alpha\\
\beta\\
-\alpha\\
\alpha
\end{smallmatrix}\right)
\] per opportuni \( \alpha,\beta\in K \). Nota che è possibile scrivere \( x \) come combinazione lineare
\[
x =
\left(\begin{smallmatrix}
-3\alpha - 5\beta\\
2\alpha + 3\alpha\\
\beta\\
-\alpha\\
\alpha
\end{smallmatrix}\right) =
\alpha
\left(\begin{smallmatrix}
-5\\2\\0\\-1\\1
\end{smallmatrix}\right)
+\beta
\left(\begin{smallmatrix}
-2\\3\\1\\0\\0
\end{smallmatrix}\right)
\] di linearmente indipendenti. Quindi, per individuare una soluzione del tuo sistema, sono necessari esattamente \( 2 \) parametri, anche se i "punti" sono di \( 5 \) numeri (quel sistema è un piano, ma di uno spazio a \( 5 \) dimensioni ).

Moralmente: prendi un sistema lineare (omogeneo) di \( n \) incognite per \( m \) equazioni; alcune variabili sono elementi pivotali nella rref della matrice associata, mentre altre sono "libere"; una soluzione apparterrà ad uno spazio di \( n \) dimensioni - al prodotto \( K^n \), dove \( K \) è il campo di provenienza dei coefficienti -, ma non necessariamente hai bisogno di \( n \) numeri per individuare un punto sullo spazio delle soluzioni (te ne bastano tanti quante sono le variabili libere).

[Filippo12]

Ho capito il controesempio : il vettore ha cinque componenti ma appartiene ad uno (sotto) spazio vettoriale con dimensione due, giusto? ; Moralmente lo dice nei video il prof. Gobbino! Ciao e grazie