Convenzioni sugli indici

Messaggioda Bananone » 11/06/2020, 22:04

Sia data una matrice \(\eta=\text{diag}(1,1,1,-1)\). Il mio libro fa questa affermazione: le entrate di questa matrice verranno denotate come \(\eta_{ab}\) o \(\eta^{ab}\) in base alla convenzione di Einstein sugli indici ripetuti. Di conseguenza, data una base ortonormale \(\{e_i\}\) di \(\mathbb{R}^4\) con indice \(1\) e un prodotto interno \(g\), si avrà \(g(e_a,e_b)=\eta_{ab}=\eta^{ab}\).

Fin qui, tutto normale: la posizione degli indici è indifferente ed è puramente legata all'equazione che stiamo scrivendo: ad esempio, dati due vettori generici \(v=v^ae_a\) e \(w=w^be_b\), scriviamo \(g(v,w)=v^aw^b\eta_{ab}\).

Ora, sia \(M\) lo spazio quadridimensionale dotato del prodotto interno (simmetrico, non-degenere) \(g\) definito come sopra. Sia \(L:M\to M\) una trasformazione ortogonale; l'insieme degli \(\hat e_i=Le_i\) è ancora una base ortonormale dello spazio, e dunque posso scrivere \(\forall u\) la combinazione lineare \(e_u=\Lambda_u^a \hat e_a\). La condizione di ortogonalità diventa \(g(e_c,e_d)=\Lambda_c^a\Lambda_d^b\eta_{ab}=\eta_{cd}\).

Anche questo è chiaro. Ora però il libro mi chiede di mostrare come la condizione precedente sia equivalente all'espressione \(\Lambda_c^a\Lambda_d^b\eta^{cd}=\eta^{ab}\). Come si manipola formalmente quest'espressione?
Bananone
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Re: Convenzioni sugli indici

Messaggioda marco2132k » 12/06/2020, 14:04

La tua \( g \) induce un isomorfismo \( M\cong M^*\). Hai provato a pensare in termini del duale?

‘Come si manipola formalmente quest’espressione?’ Scrivila con i simboli di sommatoria (nota che, qui, ad essere fissi sono \(a\) e \(b\)!).

P.s. Stai leggendo Naber, vero? Se sì, nota che poche righe più sotto Naber dice che la matrice \( \Lambda \) è la matrice della \( L^{-1} \) ortogonale - e ha ragione -, e che la relazione che ti interessa esprime un’ortonormalità tra funzionali. (Ma ora sono da cellulare, e non ho possibilità di mettere meglio le mani su queste cose entro oggi).
marco2132k
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