Sia data una matrice \(\eta=\text{diag}(1,1,1,-1)\). Il mio libro fa questa affermazione: le entrate di questa matrice verranno denotate come \(\eta_{ab}\) o \(\eta^{ab}\) in base alla convenzione di Einstein sugli indici ripetuti. Di conseguenza, data una base ortonormale \(\{e_i\}\) di \(\mathbb{R}^4\) con indice \(1\) e un prodotto interno \(g\), si avrà \(g(e_a,e_b)=\eta_{ab}=\eta^{ab}\).
Fin qui, tutto normale: la posizione degli indici è indifferente ed è puramente legata all'equazione che stiamo scrivendo: ad esempio, dati due vettori generici \(v=v^ae_a\) e \(w=w^be_b\), scriviamo \(g(v,w)=v^aw^b\eta_{ab}\).
Ora, sia \(M\) lo spazio quadridimensionale dotato del prodotto interno (simmetrico, non-degenere) \(g\) definito come sopra. Sia \(L:M\to M\) una trasformazione ortogonale; l'insieme degli \(\hat e_i=Le_i\) è ancora una base ortonormale dello spazio, e dunque posso scrivere \(\forall u\) la combinazione lineare \(e_u=\Lambda_u^a \hat e_a\). La condizione di ortogonalità diventa \(g(e_c,e_d)=\Lambda_c^a\Lambda_d^b\eta_{ab}=\eta_{cd}\).
Anche questo è chiaro. Ora però il libro mi chiede di mostrare come la condizione precedente sia equivalente all'espressione \(\Lambda_c^a\Lambda_d^b\eta^{cd}=\eta^{ab}\). Come si manipola formalmente quest'espressione?