Matrice diagonalizzabile e rango

[Bokonon]

@Marco98k
È la definizione di matrice antisimmetrica

[vict85]

Sai che \(\displaystyle 2A + 2A^t = I \), ovvero \(4a_{ii} = 1\) e \(\displaystyle 2(a_{ij} + a_{ji}) = 0 \) per ogni \(\displaystyle i \neq j \in \{1,2,3\} \). Quindi sai che la matrice \(A\) ha la diagonale tutta formata da \(\displaystyle \frac14 \) e \(\displaystyle a_{ij} = -a_{ji} \) per ogni altro numero. Quindi \(\displaystyle S = \Bigl(A - \frac14 I\Bigr) \) è antisimmetrica.

[Marco98k]

Per definizione.

Si ma nell'ipotesi del quesito non c'è scritto che $A$ è normale, al massimo dovrei ricavarlo dalla relazione. Ma come?

[hydro]

Per definizione.

Si ma nell'ipotesi del quesito non c'è scritto che $A$ è normale, al massimo dovrei ricavarlo dalla relazione. Ma come?

Sì ma io ti ho spiegato perchè una matrice che soddisfa l'ipotesi del quesito, ovvero tale che $2A+2A^t=I$, è anche normale. Il motivo è che se $A^t\in \mathbb R[A]$, cosa che è implicata dalla tua ipotesi, allora $A\cdot A^t=A^t\cdot A$

[Marco98k]

Sai che \(\displaystyle 2A + 2A^t = I \), ovvero \(4a_{ii} = 1\) e \(\displaystyle 2(a_{ij} + a_{ji}) = 0 \) per ogni \(\displaystyle i \neq j \in \{1,2,3\} \). Quindi sai che la matrice \(A\) ha la diagonale tutta formata da \(\displaystyle \frac14 \) e \(\displaystyle a_{ij} = -a_{ji} \) per ogni altro numero. Quindi \(\displaystyle S = \Bigl(A - \frac14 I\Bigr) \) è antisimmetrica.

Ok grazie mille! Ho capito adesso

[Marco98k]

Per definizione.

Si ma nell'ipotesi del quesito non c'è scritto che $A$ è normale, al massimo dovrei ricavarlo dalla relazione. Ma come?

Sì ma io ti ho spiegato perchè una matrice che soddisfa l'ipotesi del quesito, ovvero tale che $2A+2A^t=I$, è anche normale. Il motivo è che se $A^t\in \mathbb R[A]$, cosa che è implicata dalla tua ipotesi, allora $A\cdot A^t=A^t\cdot A$

È proprio questo che non capisco purtroppo.. perché l'ipotesi implica $A^t\in \mathbb R[A]$?

Scusa ma non riesco a capire.

[hydro]

$2A+2A^t=I \implies A^t=1/2I-A$, quindi $A^t$ è un polinomio in $A$ a coefficienti in $\mathbb R$.