Esercizio sui vettori parametrici

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Buonasera a tutti! Sto cercando di svolgere questo esercizio, ma non so da dove cominciare. Forse mi sto perdendo in un bicchiere d'acqua. Qualcuno può darmi un input, in modo da poterlo risolvere? Grazie in anticipo.

Al variare dei parametri reali $m$,$n$ sia data la famiglia di vettori $\vec a$ $=$ $(m,3m,n)$. Determinare i valori di $m$ ed $n$ affinchè $\vec a$ sia un versore e che il prodotto vettoriale $\vec a$ x $\hat i$ sia lungo l'asse $z$. Il vettore così ottenuto è anch'esso un versore?

[Bokonon]

Scrivi qualcosa. Cos'è un versore? ...e scrivi una condizione.
Fai il prodotto vettoriale...e scrivi una seconda condizione.
Sicuramente saprai che il prodotto vettoriale $axb=c$ produce un vettore perpendicolare sia ad a che a b.
Visto che c deve stare sull'asse z, allora sarà della forma $(0,0,k)$ pertanto l'unico modo per cui $a*c=0$ è che la terza componente di a sia zero, quindi $n=0$
Ora devi solo trovare i valori di $m$ dalla prima condizione e troverai i vettori $a$ e $-a$ che soddisfano il tutto.
Infine troverai anche c dalla seconda condizione e ne calcolerai la magnitudine per vedere se è un versore o meno.

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Innanzitutto grazie mille per avermi risposto. Ora provo a ragionarci su, sperando di riuscire a risolverlo