Matrice invertibile

[Frank996]

Buongiorno vorrei un chiarimento circa questo esercizio.


Si determinino tutti i valori del parametro n ∈ $ Z_4 $ tali che la matrice $ A_n $ = $ ( ( n , 1 , 0 ),( 3 , 1 , 1 ),( 0 , 1 , 2 ) ) $ $ in M_3(Z_4) $ è invertibile, e per ciascuno di essi si determini la matrice inversa.

Visto che una matrice è invertibile se il $ det != 0 $ ho calcolato il $ det $ in $ n $ e l'ho posto $ != 0 $ .
Ho usato Sarrus visto che è una matrice $ 3 x 3 $ ed è uscito $ n!= 6 $ . Ora non capisco come calcolare le matrici inverse per tutti i valori $ != 6 $ . Forse devo calcolare la matrice inversa in $ n $ ponendo $ n!= 6 $ ?

[solaàl]

I valori di \(n\in\mathbb Z/4\mathbb Z\) per cui $A$ è invertibile sono una cosa; le inverse delle $A_n$ sono un'altra cosa.

Detto questo, il determinante di $A_n$ è $n-6$, ma "6" non esiste in \(\mathbb Z/4\mathbb Z\), quello che esiste è la classe di resto di 6 modulo 4 (e quella di $n$, fwiw), cioè 2. Quindi, \(A_n\in \text{GL}_3\) per ogni \(n\ne 2\).

[Frank996]

Ciao!
Ti ringrazio per la risposta, volevo chiederti solo un'altra cosa.. dopo che ho calcolato $ n!= 2 $ l'esercizio è finito ?

[gugo82]

Leggi la traccia. Ti pare di aver finito?

[Frank996]

Vuole le matrici inverse.
Ragionando, $ Z_4 $ ha $ 4 $ classi di resto e se $ n!= 2 $ allora basta sostituire ad $ n $ le rimanenti ovvero 0,1,3 e calcolare le inverse . Giusto?

[gugo82]

Io osserverei un’altra cosa: visto che $ZZ_4$ non è un campo ma un anello commutativo unitario, la condizione di invertibilità non è $det A != 0$, ma $det A in ZZ_4^**$ (cioè $det A$ è invertibile in $ZZ_4$) ossia $det A =1 vv det A = 3$.

Alla luce di ciò, prova a rivedere i calcoli.

[Bokonon]

Segui il consiglio di Gugo. Ti metto i risultati come riferimento.
Per $n=1$ l'inversa è $ ( ( 3 , 2 , 3 ),( 2 , 2 , 1 ),( 1 , 1 , 2 ) ) $
Per $n=3$ l'inversa è $ ( ( 1 , 2 , 1 ),( 2 , 2 , 1 ),( 3 , 1 , 0 ) ) $