Applicazioni iniettive da A in B

[feded123]

Salve a tutti,
Ho un esercizio che proprio non riesco a comprendere la domanda.

Siano \(\displaystyle A= \{ a1,a2,a3,a4 \} \) e \(\displaystyle B= \{ b1,b2,b3,b4,b5 \} \) . (Non si vedono ma ci sono delle parentesi graffe che racchiudono le liste di elementi ).
Quante sono le applicazioni \(\displaystyle f : A \rightarrow B \) tali che \(\displaystyle f(a2) = b4 \) ?

Quante sono le applicazioni iniettive \(\displaystyle f : A \rightarrow B \) tali che \(\displaystyle f(a3) = b2 \) ?

Per quanto riguarda la prima domanda...Qual è il criterio che collega \(\displaystyle a2 \) e \(\displaystyle b4 \) ? Non ho idea, in base a cosa dovrei rispondere?

Per la seconda è la stessa risposta della prima, a differenza che conosco la definizione di "iniettività" e non dovrei avere problemi a traslare la risposta.

Potete aiutarmi?

[apatriarca]

Una funzione tra due insiemi è una legge che lega ad ogni elemento del primo insieme un elemento del secondo. Due funzioni \(f\) e \(g\) sono uguali se associano gli stessi elementi dell'immagine ad ogni elemento del dominio. Cioè \(f(a) = g(a)\) per ogni \(a \in A\).

La condizione nel primo caso ti dice che l'elemento di \(B\) associato a \(a_2\) è \(b_4\). Tuttavia non sai nulla del valore associato agli altri elementi che potrai quindi scegliere liberamente tra quelli di \(B\). Il numero totale di funzioni sarà quindi uguale a \(5^3 = 125.\) In altre parole hai \(5\) valori diversi da scegliere per \(a_1\), \(5\) per \(a_3\) e \(5\) per \(a_4\).

La condizione di iniettività ti fornisce invece una condizione anche sugli altri elementi. Riesci a capire come contare le funzioni in questo caso?

[feded123]

Una funzione tra due insiemi è una legge che lega ad ogni elemento del primo insieme un elemento del secondo. Due funzioni \(f\) e \(g\) sono uguali se associano gli stessi elementi dell'immagine ad ogni elemento del dominio. Cioè \(f(a) = g(a)\) per ogni \(a \in A\).

La condizione nel primo caso ti dice che l'elemento di \(B\) associato a \(a_2\) è \(b_4\). Tuttavia non sai nulla del valore associato agli altri elementi che potrai quindi scegliere liberamente tra quelli di \(B\). Il numero totale di funzioni sarà quindi uguale a \(5^3 = 125.\) In altre parole hai \(5\) valori diversi da scegliere per \(a_1\), \(5\) per \(a_3\) e \(5\) per \(a_4\).

La condizione di iniettività ti fornisce invece una condizione anche sugli altri elementi. Riesci a capire come contare le funzioni in questo caso?

Essendo la funzione "iniettiva" vuol dire che per ogni elemento di\(\displaystyle A \) c'è solo un elemento di \(\displaystyle B \) e non è detto che tutti gli elementi di \(B\) abbiano la loro immagine in \(A\).

Quindi nel nostro caso equivale a dire che per ogni \(a_n\) c'è solo un \(b_n\).
Per ogni elemento di \(A\) ci sono 6 combinazioni possibili quindi \(6*3=18\).
Giusto?

[apatriarca]

No. Una funzione è iniettiva se ogni elemento di A ha una immagine diversa. In quel modo ci potrebbero essere elementi di A con la stessa immagine. Stai in effetti contando il numero di funzioni da B ad A con la condizione duale.

L'idea corretta è di osservare che $f(a_1)$ potrà essere scelto tra i $4$ elementi rimanenti di $B$. Per $f(a_2)$ potrai a quel punto scegliere solo tra $3$ valori e per $f(a_4)$ tra $2$. Quindi ci saranno solo $24$ funzioni iniettive possibili.