Applicazione lineare da $RR^2$ ad $RR^3$

[marco.emme]

Buona sera, volevo proporvi il seguente esercizio che non riesco a capire.

La seguente applicazione è lineare da $RR^2$ ad $RR^3$?

$T(x,y) := (x−2y , 0 , y−sqrt(2) x)$

Applicando la definizione di applicazione lineare io so che, l'applicazione $T$ è lineare se:

1. $T(v_1 + v_2) = T(v_1) + T(v_2)$
2. $T(kv) = kT(v)$

nel caso dell'esercizio:

1. ho:

$T((x_1,y_1)+(x_2,y_2)) = T(x_1+x_2 , y_1+y_2) = (x_1+x_2-2y_1-2y_2 , 0 , y_1+y_2−sqrt(2) x_1−sqrt(2) x_2) $

e:

$T(x_1,y_1) = (x_1-2y_1 , 0 , y_1-sqrt(2) x_1)$, $T(x_2,y_2) = (x_2-2y_2 , 0 , y_2−sqrt(2) x_2)$

che sommati sono uguali alla precedente e quindi la prima proprietà è verificata;

2. ho:

$T(kx,ky) = (kx-2ky , 0 , ky−sqrt(2) kx)$

e:

$kT(x , y)= k (x−2y , 0 , y −sqrt(2) x) = (k(x-2y) , 0 , k (y-sqrt(2) x)) = (k x-2ky , 0 , ky-ksqrt(2) x)$

ed anche questa proprietà è verificata.

Quindi mi viene da dire che la seguente applicazione da $RR^2$ ad $RR^3$ è lineare, ma il testo dice che l'applicazione non è lineare... dove sto sbagliando?

[gugo82]

Certo che quella roba lì è lineare: le sue componenti sono polinomi omogenei di grado $1$ o identicamente nulli.

Probabile si tratti di un errore di stampa/battitura: da dov'è preso l'esercizio?

[Bokonon]

Forse intendevano $sqrt(2x)$

[marco.emme]

È un esame online, avevo pensato ad un errore di battitura infatti. Sarà sicuramente così dato che è stato scritto al computer. Grazie mille a tutti!