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Ciao, ho dei dubbi sulla risoluzione di questo esercizio, dopo aver fatto il determinante della matrice dei coefficienti, e aver stabilito la loro dipendenza lineare, non so come andare avanti (forse sbaglio qualcosa nei calcoli).

Riporto il testo

Si determini per quali valori del parametro k è possibile scrivere il vettore w come combinazione lineare di u e v.
u= (1-k, 1, k) v= (1+2k, 1+k, 1) w= (1, 2, 2)

“I coefficienti” di cosa?

L’esercizio in sé è molto semplice se ricordi che il determinante di una matrice è indice di dipendenza/indipendenza lineare.

No, mi sono sbagliata.
Comunque facendo il determinate della matrice 3x3 mi viene
k^2 - k - 1 adesso non so più come continuare.

Qual è il significato geometrico del determinante?
In altri termini, che informazioni geometriche ti dà la condizione $det A =0$? E quali la condizione $det A != 0$?

Se detA≠0 i vettori sono linearmente indipendenti e rango massimo, mentre se detA=0 sono linearmente dipendenti.
Quindi solamente quando K avrà un valore tale da rendere detA=0 i vettori potranno definirsi combinazione lineare di w?

givliantolini ha scritto:Se detA≠0 i vettori sono linearmente indipendenti e rango massimo, mentre se detA=0 sono linearmente dipendenti.
Quindi solamente quando K avrà un valore tale da rendere detA=0 i vettori potranno definirsi combinazione lineare di w?

Ti sei espressa male, solamente quando K avrà un valore tale da rendere $detA=0$ è possibile scrivere il vettore w come combinazione lineare di u e v

La frase “potranno definirsi combinazione lineare di $mathbf(w)$” non ha senso.

Indichiamo, tanto per capirci, con $A$ la matrice che ottieni mettendo in colonna i vettori $mathbf(u)$, $mathbf(v)$ e $mathbf(w)$.
Quando $det A =0$ le colonne di $A$ formano un sistema di vettori linearmente dipendenti, ma ciò è solo una condizione necessaria affinché $mathbf(w)$ dipenda da $mathbf(u)$ e $mathbf(v)$; per avere una condizione anche sufficiente devi controllare che le colonne $mathbf(u)$ e $mathbf(v)$ contengano un minore d’ordine $2$ non nullo.
Ora, hai:

$det A = |(1-k, 1+2k, 1), (1, 1+k, 2), (k, 1, 2)| = k^2 - k - 1 =0 <=> k = (1 +- sqrt(5))/2$

e

$A_(13,12) = |(1-k, 1+2k), (k, 1)| = -2k^2 - 2 k + 1 = 0 <=> k = (-1+- sqrt(3))/2$;

quindi quando $k=(1+-sqrt(5))/2$ hai $det A =0$ e $A_(13,12) !=0$, perciò per entrambi questi valori di $k$ le colonne $mathbf(u)$, $mathbf(v)$ e $mathbf(w)$ sono dipendenti e le colonne $mathbf(u)$ e $mathbf(v)$ sono indipendenti, ossia $mathbf(w)$ dipende da $mathbf(u)$ e $mathbf(v)$.

Grazie mille! mi mancava l'ultimo passaggio!