Vorrei chiedervi se il seguente esercizio ,da me svolto, sia corretto.
Sia E^(3)(R) uno spazio euclideo di dimensione 3 in cui è fissato un riferimento euclideo R.
Sia $\l$ la retta di equazioni $\2X-Y+Z+12=0$, $\X-Y+Z-sqrt5=0$
-Determinare i piani $\alpha_1$ ed $\alpha_2$ passanti per l'origine, paralleli ad $\l$ ed aventi distanza 1 da $\P=(1,-1,1)$
-Determinare il piano $\rho$ passante per $\P$ ed ortogonale sia ad $\alpha_1$ che $\alpha_2$
-Posto $\r_1=rhonnalpha_1$ ed $\r_2=rhonnalpha_2$, dette $\R_1$ ed $\R_2$ le proiezioni ortogonali di $\P$ sulle rette $\r_1$ ed $\r_2$, rispettivamente, calcolare la distanza tra $\R_1$ ed $\R_2$.
Per quanto riguarda il primo punto ho considerato la generica equazione del piano $\AX+BY+CZ+D=0$. Dato che è passante per l'origine, considero $\D=0$.
I due piani devono essere paralleli ad $\l$, pertanto il vettore dei coefficienti direttori dei generici piani deve essere ortogonale al vettore direttore della retta $\l$. Il vettore direttore della mia retta è $\vec n_l=(0,-1,-1)$, quindi pongo la condizione $A(0)+B(-1)+C(-1)=0$ quindi $\B=-C$ cioè pongo che il prodotto scalare tra i due vettori sia nullo.
Poi considero la formula della distanza tra un punto e un piano $\d(P,pi)=(|Ax+By+CZ-D|)/(sqrt(A^2+B^2+C^2)$ pertanto ottengo
$\1=(A-B+C)/(sqrt(A^2+B^2+C^2))$ da cui ottengo l'equazione $\2AB-2AC+2BC=0$.
A questo punto metto a sistema ciò che ho ottenuto per ricavarmi i valori di $\A,B,C$
$\{(2AB-2AC+2BC=0), (B=-C):}$
Da qui ho ottenuto le due equazioni cartesiane dei due piani $\alpha_1:X=0$ ed $\alpha_2:X+2Y-2Z=O$
Per quanto riguarda il secondo punto, dato che ho un punto per cui passa il piano cioè $\P$ e so che il piano $\rho$ deve essere ortogonale ai due piani $\alpha_1$ ed $\alpha_2$ precedenti, allora posso scrivere le equazioni parametriche del piano $\rho$ avendo a disposizione due vettori di direzione (che sono i vettori dei parametri direttori di $\alpha_1$ ed $\alpha_2$ che individuano la direzione normale ai due piani) e un punto quindi
$\rho: {(x=1+t+s), (y=-1+2s),(z=1-2s):}$
Da qui ho ricavato poi l'equazione cartesiana di $\rho$
$\rho:{Y+Z=0:}$
Per quanto riguarda il terzo punto invece ho calcolato le due rette $\r_1$ ed $\r_2$ facendo l'intersezione tra $\rho$ ed $\alpha_1$ e poi ancora tra $\rho$ ed $\alpha_2$, quindi
$\r_1: {(Y+Z=0),(X=0):}$
$\r_2: {(X+2Y-2Z=0),(Y+Z=0):}$
Per poter calcolare i due punti $\R_1$ ed $\R_2$ ho pensato di considerare la retta che passa per $\P$ ed ortogonale al piano $\alpha_1$ e un'altra retta che passa per $\P$ ed ortogonale al piano $\alpha_2$.
Posso calcolarmi le equazioni parametriche di queste due rette perché ho a disposizione un punto e i vettori direttori che sarebbero i vettori dei parametri direttori dei due piani. Dopo aver calcolato queste due rette, faccio l'intersezione con le due rette $\r_1$ ed $\r_2$ per calcolarmi i due punti $\R_1$ ed $\R_2$ vale a dire le due proiezioni ortogonali di $\P$.
Quindi ho chiamato la mia prima retta $\gamma$, ho ricavato le equazioni parametriche e poi da esse quelle cartesiane
$\gamma: {(Y=-1),(Z=1):}$
faccio a questo punto l'intersezione tra retta $\gamma$ e retta $\r_1$
$\{(Y+Z=0),(X=0),(Y=-1),(Z=1):}$
da cui ho ricavato il punto $\R_1=(0,-1,1)$
Fin qui mi trovo con i risultati riportati sul libro ma ripetendo lo stesso ragionamento per trovare il punto $\R_2$, non mi trovo Infatti, ho trovato una retta $\sigma$ passante per $\P$ e ortogonale a $\alpha_2$ di equazioni parametriche
$\sigma: {(x=1+t),(y=-1+2t),(z=1-2t):}$
le cui equazioni cartesiane sono
$\sigma: {(2X-Y-3=0),(2X+Z-3=0):}$
poi ho proceduto con l'intersezione tra questa retta e la retta $\r_2$
$\{(2X-Y-3=0),(2X+Z-3=0),(X+2Y-2Z=0),(Y+Z=0):}$
ma da questo sistema ricavo il punto $\P_2=(4/3,-1/3,1/3)$ mentre nel risultato riportato sul libro ho il punto $\P_2=(4/3,-2/3,2/3)$ e ovviamente anche la distanza tra i due punti che dovrei calcolare non viene nello stesso modo.
Ovviamente non vi chiedo la correzione dei calcoli tuttavia vorrei sapere se il modo di ragionare, di procedere sia corretto...o magari ci sono altri metodi più celeri?
Mi scuso per questo messaggio un po' troppo lungo e vi ringrazio in anticipo per l'aiuto!
