Matematicamente.it

Ciao a tutti, sto avendo molta difficoltà con gli esercizi di Geometria e algebra, non riesco a risolvere quelli parametrici.



Stavo cercando di risolvere questo tipo di esercizio ma non so come procedere. Potreste aiutarmi? Grazie!

Ma nemmeno un'idea?
Per capire come si comporta l'endomorfismo, al minimo uno calcola il $det(A)$
Se scopre che il determinate è sempre diverso da zero (quindi non dipende da k), cosa ne deduce?
Per il secondo punto...io fisserei attentamente la matrice. Mmm, mi dice qualcosa...

Ho calcolato il determinante della matrice, è uguale a -4, dunque è indipendente da K. Se il determinante è sempre diverso da zero so che la matrice ha rango massimo (quindi rk = 3) e l'endomorfismo è biettivo, giusto?

Per il secondo punto devo calcolare il polinomio caratteristico e verificare che siano soddisfatte le condizioni del criterio di diagonalizzabilità, ma non riesco a calcolare gli autovalori.

Alessia00Ma ha scritto:Ho calcolato il determinante della matrice, è uguale a -4, dunque è indipendente da K. Se il determinante è sempre diverso da zero so che la matrice ha rango massimo (quindi rk = 3) e l'endomorfismo è biettivo, giusto?

Giusto. Quindi la risposta è che l'endomorfismo è sempre un automorfismo per qualsiasi valore di k.

Alessia00Ma ha scritto:Per il secondo punto devo calcolare il polinomio caratteristico e verificare che siano soddisfatte le condizioni del criterio di diagonalizzabilità, ma non riesco a calcolare gli autovalori.

Non hai fissato la matrice...altrimenti ti saresti accorta che è simmetrica
Segue che la matrice ha sempre autovalori reali ed è sempre diagonalizzabile (teorema spettrale).
Ricavare il suo polinomio caratteristico in una forma semplificata non è immediato ma nemmeno difficile...devi fare pratica: $(lambda-2)(lambda^2-klambda-2)=0$

...continua da qua.

Bokonon ha scritto:

Alessia00Ma ha scritto:Ho calcolato il determinante della matrice, è uguale a -4, dunque è indipendente da K. Se il determinante è sempre diverso da zero so che la matrice ha rango massimo (quindi rk = 3) e l'endomorfismo è biettivo, giusto?

Giusto. Quindi la risposta è che l'endomorfismo è sempre un automorfismo per qualsiasi valore di k.

Alessia00Ma ha scritto:Per il secondo punto devo calcolare il polinomio caratteristico e verificare che siano soddisfatte le condizioni del criterio di diagonalizzabilità, ma non riesco a calcolare gli autovalori.

Non hai fissato la matrice...altrimenti ti saresti accorta che è simmetrica
Segue che la matrice ha sempre autovalori reali ed è sempre diagonalizzabile (teorema spettrale).
Ricavare il suo polinomio caratteristico in una forma semplificata non è immediato ma nemmeno difficile...devi fare pratica: $(lambda-2)(lambda^2-klambda-2)=0$

...continua da qua.

Quindi per k = -1 lo spettro di f contiene l'autovalore lambda = 1, giusto?

Grazie mille per la spiegazione, mi hai chiarito parecchi dubbi!

Alessia00Ma ha scritto:
Quindi per k = -1 lo spettro di f contiene l'autovalore lambda = 1, giusto?

Esatto.
Extra credits question...per quali valori di k ci sono due radici coincidenti?

Alessia00Ma ha scritto:Grazie mille per la spiegazione, mi hai chiarito parecchi dubbi!

Non è finita...l'esercizio ti chiede di trovare anche la base di autovettori