cianfa72 ha scritto:Possiamo ora esprimere le prime $r$ righe di $A$ come combinazione lineare delle prime $r$ righe di $B$. La sottomatrice r x r di $M$ che realizza questa combinazione lineare e' ovviamente non singolare.
Non è rxr ma bensì mxr...non è quadrata quindi non può essere non singolare.
E le rimanenti m-r
colonne di M sono
tutti zeri (vedi la matrice $M_1$ nell'esempio sotto).
Non ci siamo...ti incasini un poco (anche se hai
chiaramente intuito la strada giusta).
O usi una base (come hai fatto) oppure usi tutte le righe di B (che sono un insieme di generatori del sottospazio). Di matrici M di dimensione (mxm) ne possiamo creare un'infinità (proprio perchè le righe di B sono un insieme di generatori pertanto esistono infinite combinazioni lineari delle sue righe che restituiscono la medesima matrice A).
Riassumendo, nel caso $m<n$,
solo quando A e B hanno rango pieno per righe, ovvero $Rk(A)=Rk(B)=m$, allora possiamo affermare che M è non singolare ed è unica...altrimenti dobbiamo cercare
una delle tante matrici M non singolari.
Ti metto un esempio:
$ A=( ( 1 , 1 , 2 , 5 ),( 0 , 1 , 1 , 2 ),( 1 , 0 , 1 , 3 ) ) $ $ B=( ( 1 , 0 , 1 , 3 ),( 0 , 1 , 1 , 2 ),( 1 , 1 , 2 , 5 ) ) $
$ M_1=( ( 1 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 0 ) ) $ $ M_2=( ( 0 , 0 , 1 ),( -1 , 0 , 1 ),( 0 , -1 , 1 ) ) $ $ M_3=( ( 1/2 , 1/2 , 1/2 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , -1 , 1 ) ) $
A e B sono due matrici di rango 2 e col medesimo kernel, ad esempio lo span di:
$ Ker(A)=Ker(B)={( ( 1 ),( 1 ),( -1 ),( 0 ) ), ( ( 3 ),( 2 ),( 0 ),( -1 ) )} $
$M_1B=M_2B=M_3B=A$
però: $det(M_1)=0$, $det(M_2)=1$ e infine $det(M_3)=1/2$
P.S. Mi sa che ho letto male la tua affermazione mentre ero in vaporetto, doh!. Mi sa che non intendevi dire che esiste
solo una coppia di matrici, l'una l'inversa dell'altra
Sorry.