avrei bisogno di conferme sul seguente esercizio
sia $C$ la curva affine di equazione $f(x,y):=(x^2-1)^2+(y^2-1)^2-1=0$
a) trovare i punti singolari
b) trovare le tangenti principali a ciascun punto singolare
c) trovare i punti impropri
d) vi sono punti impropri, che sono singolari della chiusura proiettiva di C? motivare la risposta.
svolgimento
a) pongo a zero le derivate parziali e ottengo il sistema
${((x^2-1)x=0),((y^2-1)y=0):}$
tra tutti i punti che si ottengono(sono 7), gli unici che appartengono a $C$ sono
$P_1=(0,1)$, $P_2=(1,0)$, $P_3=(0,-1)$, $P_4=(-1,0)$
b) trovo le tangenti principali del punto $(0,1)$, gli altri sono analoghi
mi sposto sull'origine tramite la trasformazione ${(u=x),(v=y-1):}$
$(u^2-1)^2+((v+1)^2-1)^2-1=u^4-2u^2+v^4+4v^3+4v^2$
il polinomio omogeneo di grado minimo è $4v^2-2u^2$ il quale mi da la molteplicità del punto(ovvero $2$) e i coefficienti direttori delle tangenti principali ovvero $u=pm sqrt(2) => x=pm(y-1)sqrt(2)$
quindi le rette sono ${(x-ysqrt(2)+sqrt(2)=0),(x+ysqrt(2)-sqrt(2)=0):}$
data la simmetria della curva le altre si ottengono come combinazioni distinte di $pm$ dei termini $x,ysqrt2,sqrt2$
c) trovo i punti impropri
passando al chiusura ottengo $F(X_0:X_1:X_2)(X_1^2-X_0^2)^2+(X_2^2-X_0^2)^2-X_0^4=0$
posto $X_0=0$ i punti saranno le soluzioni di $X_1^4+X_2^4=0$
se ci poniamo su $CC$ avremo che $X_1=xi_(k)X_2$ dove $xi_k,k=1,2,3,4$ è una delle quattro radici dell'equazione $z^4+1=0$ e quindi i punti impropri saranno $P_k=[0:xi_k:1],k=1,2,3,4$
d) per quanto riguarda i punti impropri, singolari per la chiusura, basta notare che le derivate $F_(X_1)$ e $F_(X_2)$ sono
${((X_1^2-X_0^2)X_1=0),((X_2^2-X_0^2)X_2=0):}$
ponendo $X_0=0$ dovrebbero annullarsi anche $X_1$ e $X_2$, cosa che chiaramente non può avvenire in questo contesto: quindi concludiamo che $C$ non ha punti impropri singolari alla sua chiusura proiettiva.
