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Se ho $ n $ vettori linearmente indipendenti di $ K^n $ posso dire automaticamente che sono anche una base senza verificare che sono anche un insieme di generatori ? Oppure possono esistere n vettori linearmente indipendenti di $ k^n $ che non sono una base?

Posso chiederti cosa intendi per per $K^n$?

Ah, intendi forse l'esempio tipico $RR^n$?

In tal caso direi di sì perché sai che una base di $RR^n$ è la base canonica (si vede facilmente essere una base di n vettori) e la dimensione dello spazio è quindi n, inoltre sai che ogni possibile base ha dimensione n (teorema).
Da questo, assunti n vettori $v_1,...,v_n$ linearmente indipendenti e a caso, sai che $Span(v_1,...,v_n)⊆RR^n$ è sottospazio di $RR^n$. Hai quindi mostrato che quei vettori sono un sistema di generatori (generano infatti lo span), inoltre sai già che erano L.I. (per HP) quindi con questo concludi che sono base per lo span, quindi: $dim(Span(v_1,...,v_n))=n$

Hai così un sottospazio di $RR^n$ di dimensione n, quindi (teorema) $RR^n=Span(v_1,...,v_n)$.
Quei vettori sono quindi base anche di $RR^n$ poiché i due spazi sono uguali.

non so però se intendevi questo

Grazie mille
Con $ K^n $ volevo dire uno spazio vettoriale su campo $K $
Se il CAMPO è complesso posso dire sempre che n vettori linearmente indipendenti di $C^n$ sono una base di $ C^n$