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No, ora non hai sbagliato, le coordinate di \(F\) sono perfette sia in \(u,v\) che in \(x,y\).

Per quello che hai scritto, manca solo una richiesta da soddisfare, ossia determinare \(f(x,y)=0\).

Quindi, che facciamo? Semplicemente ci basta invertire la trasformazione: \[
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1/\sqrt{5} & -2/\sqrt{5} \\
2/\sqrt{5} & 1/\sqrt{5} \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
u \\
v \\
\end{bmatrix}+
\begin{bmatrix}
0 \\
3 \\
\end{bmatrix}
\] e sostituire le rispettive espressioni in \(x,y\) nell'equazione \(u = \frac{\sqrt{5}}{45}v^2\). Avanti!

Se mi chiedi di trovare u e v in funzione di x e y allora dovrebbe essere, $[[u],[v]]=[[x],[y]]-[[0],[3]]M^-1$ dove $M^-1$ è la matrice inversa di quella sopra.

Sì, ma non sono io a richiederlo, bensì l'autore di quell'esercizio che vi vuole tanto bene!

In ogni modo, correttamente, si ha: \[
\begin{bmatrix}
u \\
v \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1/\sqrt{5} & -2/\sqrt{5} \\
2/\sqrt{5} & 1/\sqrt{5} \\
\end{bmatrix}^{-1}
\begin{bmatrix}
x-0 \\
y-3 \\
\end{bmatrix}
\] dove la matrice 2x2 va scritta a sinistra del vettore 2x1, altrimenti come ci fai il prodotto?

Dai, ora svolgi i calcoli e poi sostituisci nell'equazione \(u=\frac{\sqrt{5}}{45}v^2\), è solo noioso, nulla di più.

Dato quello, imposto il sistema: $\{(sqrt(5)/21x+10sqrt(5)/21(y-3)=9sqrt(5)/4),(-2sqrt(5)/21x+sqrt(5)/21(y-3)=0):}$
ma se lo risolvo, trovo gli stessi valori di prima, non mi è chiaro cosa ne devo ricavare allora.

Non voglio nemmeno sapere come tu sia riuscito a far sparire \(u\) e \(v\).

In ogni modo, come hai giustamente scritto sopra, ci basta calcolare: \[
\begin{bmatrix}
u \\
v \\
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1/\sqrt{5} & -2/\sqrt{5} \\
2/\sqrt{5} & 1/\sqrt{5} \\
\end{bmatrix}^{-1}
\begin{bmatrix}
x-0 \\
y-3 \\
\end{bmatrix} = \dots
\] dove ti ricordo che quella è una matrice di rotazione per cui vale: \[
\begin{bmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta \\
\sin\theta & \cos\theta \\
\end{bmatrix}^{-1}=
\begin{bmatrix}
\cos\theta & \sin\theta \\
-\sin\theta & \cos\theta \\
\end{bmatrix}.
\]

Forse avrei dovuto scrivere $\{(sqrt(5)/21x+10sqrt(5)/21(y-3)=u),(-2sqrt(5)/21x+sqrt(5)/21(y-3)=v):}$

Ha sicuramente più senso rispetto a prima ma è sbagliato.

Ripeto che l'inversa di una matrice di rotazione implica solo uno scambio di segno.

Per cui è praticamente impossibile sbagliare, non c'è da fare alcun calcolo!

Vuoi dire che $\{(1/sqrt(5)x+2/sqrt(5)(y-3)=u),(-2/sqrt(5)x+1/sqrt(5)(y-3)=v):}$

Certo che volevo dire quello, come vedi minimo sforzo e massima resa!

Ora, come ripetuto più volte, ci basta sostituire in \(u=\frac{\sqrt{5}}{45}v^2\) ottenendo: \[
\frac{x}{\sqrt{5}} + \frac{2(y-3)}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{45}\left(-\frac{2x}{\sqrt{5}}+\frac{y-3}{\sqrt{5}}\right)^2
\] e ad un esame io mi fermerei qui, perché non vi è scritto da nessuna parte che vada semplificata.

D'altro canto, svolgendo diligentemente i calcoli che tanto ami puoi semplificarla in: \[
4x^2+y^2-4xy-33x-96y+279=0
\] che è una porcheria immensa rispetto alle equazioni parametriche ottenute a monte: \[
\begin{cases}
x = 0 - \frac{2t}{\sqrt{5}} + \frac{t^2}{45} \\
y = 3 + \frac{t}{\sqrt{5}} + \frac{2t^2}{45} \\
\end{cases},
\quad t \in \mathbb{R}
\] tramite le quali abbiamo a disposizione qualsivoglia informazione gratuitamente!

In conclusione, allego il grafico della parabola che possiamo dire di aver partorito!

\(\quad\quad\quad\quad\quad\quad\)