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Ma forse tu stai scherzando. Lo spazio dei vettori geometrici applicati , cioè le freccette che disegni sul piano euclideo congiungendo due punti. Secondo te il piano euclideo dove appunto lavorava Euclide ha qualcosa a che fare con $\mathbb R^2$.?
Adesso iniziamo a parlare di isomorfismi e che ogni spazio vettoriale n-dimensionale è isomorfo a $\mathbb R^n$ come se importasse a qualcuno. Il punto del discorso è che la ragazza non ha proprio capito cosa sia uno spazio affine, e che in teoria esistono due insiemi distinti uno dei quali sarà l'insieme dei punti e l'altro lo spazio vettoriale. E poi ovviamente puoi scegliere sia il primo che il secondo coincidenti con $\mathbb R^n$ , andando a caratterizzare lo spazio affine numerico. Certo a leggere il tuo intervento dubito che lo abbia capito perché tu in sostanza hai liquidato il discorso scrivendo che tutto si riduce a $\mathbb R^n$

Scusa la domanda: ma sai la differenza tra vettore libero e vettore applicato?

Non devi scusarti per la domanda. Nel caso dei vettori geometri applicati in un punto del piano euclideo, ottieni i vettori liberi quozientando per la relazione di equipollenza. Nel caso di uno spazio affine generico i vettori dello spazio vettoriale associato vengono appunti definiti vettori liberi.

Ora io voglio sottolineare che quando si parla di $\mathbb R^n$ esso viene inteso come un $\mathbb R$ spazio vettoriale, e non può essere confuso con lo spazio affine numerico dove invece ha senso parlare di rette sghembe e quant'altro. Anzi l'ambiente naturale dove esistono quegli enti è proprio lo spazio $\Omega$ della geometria euclidea.

Tutto qui

Brufus ha scritto:[...] voglio sottolineare che quando si parla di $\mathbb R^n$ esso viene inteso come un $\mathbb R$ spazio vettoriale [...]

Ed ecco come una convenzione locale diventa magicamente universale...

Se studi Matematica, dovrai faticare non poco per liberarti di questi abiti mentali.¹
Buon lavoro su te stesso.

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@Brufus Mi verrebbe da domandarti come definisci questo spazio \(\displaystyle\Omega\)?!

O più in generale, come definisci gli spazi affini ed affini euclidei?!

P.S.: \(\displaystyle\mathbb{R}\) come \(\displaystyle\mathbb{Q}\)-spazio vettoriale è molto interessante.

Mi verrebbe da domandarti come definisci questo spazio

Non saprei, dovresti chiederlo a Euclide mentre scriveva la sua opera. Dovresti anche chiedere ad Euclide cosa sia una retta visto che non l'ha mai definita. In ogni caso $\Omega$ è proprio l'ambiente in cui Euclide lavora con i suoi enti primitivi. E stai sicuro che non è $\mathbb R^2$

come definisci gli spazi affini

Lo spazio affine numerico su un campo $K$ si definisce $mathbb A_K$ quindi quello che tu impropriamente ( anzi scorrettamente) chiami $\mathbb R^n$ si dovrebbe scrivere $\mathbb A_{\mathbb R}$.

Ah, tutto chiaro!

Io chiamo spazio affine su un campo \(\displaystyle\mathbb{K}\) una coppia \(\displaystyle(\mathbb{A},\alpha)\) ove \(\displaystyle\mathbb{A}\) è un insieme ed \(\displaystyle\alpha\) è l'azione iniettiva e transitiva del gruppo additivo di un \(\displaystyle\mathbb{K}\)-spazio vettorale \(\displaystyle\mathbb{V}\) su \(\displaystyle\mathbb{A}\). In particolare \(\displaystyle\mathbb{V}\) si chiama spazio vettoriale dei vettori liberi.

Per giunta, fissando un punto \(\displaystyle O\in\mathbb{A}\) posso dotare \(\displaystyle\mathbb{A}\) di un('unic)a struttura di \(\displaystyle\mathbb{K}\)-spazio vettoriale, la quale è isomorfa a \(\displaystyle\mathbb{V}\). La terna \(\displaystyle(\mathbb{A},O,\varphi)\), con \(\displaystyle\varphi\) isomorfismo lineare precedentemente considerato, si definisce spazio vettoriale dei vettori applicati in \(\displaystyle O\).

E sempre a meno di isomorfismi, \(\displaystyle\mathbb{V}\) è isomorfo al \(\displaystyle\mathbb{K}\)-spazio vettoriale libero su una qualsiasi base di \(\displaystyle\mathbb{V}\); il quale a sua volta è uno spazio affine. Per giunta si può dimostrare che questi è l'unico spazio affine, a meno di affinità, il cui spazio direttore sia \(\displaystyle\mathbb{V}\).

Quindi, supponendo che \(\displaystyle\mathbb{K}=\mathbb{R}\) e \(\displaystyle\dim\mathbb{V}=n\), a meno di biezioni si può assumere che \(\displaystyle\mathbb{A}\) sia \(\displaystyle\mathbb{R}^n\). E tale assunzione è molto più rigorosa e chiara di tal spazio (o insieme?) \(\displaystyle\Omega\) introdotto da tal Euclide che conosci te! L'Euclide che conosco io, autore di testi matematici antichi, non denotava gli oggetti che descriveva ingenuamente.