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Salve, non riesco a sbrogliare questo problema
Ho $\{v_1,\ldots, v_{n-1}\}$ vettori linearmente indipendenti in $\mathbb{R}^n$. Quindi ho un piano $\Sigma$ generato da questi vettori. Voglio trovare un vettore $v_n$ che sia ortogonale a $\Sigma$. Svolgendo un esercizio ho motivo di credere che un modo per ottenere questo vettore sia il seguente:

Definiamo la matrice $A$ mettendo fianco a fianco gli $n-1$ vettori. Quindi $A$ ha $n$ righe e $n-1$ colonne. Indicheremo con $A_i$ la matrice quadrata ottenuta da $A$ rimuovendo la riga $i$. La coordinata $i$-esima di $v_n$ è data da $(-1)^i$det$(A_i)$.

Usando lo sviluppo di Laplace per il determinante mi torna che così ottengo una base (per altro positiva secondo il prodotto scalare euclideo) ma non capisco perché dovrebbe essere ortogonale un tale vettore. Facendo qualche prova in $RR^3$ si capisce subito che questo è il prodotto vettore e anche in dimensione superiore funziona.

Quindi le domande sono queste: è davvero ortogonale? Perché?

Il vettore che ottieni a questa maniera è ortogonale all'iperpiano \(\Sigma\) per costruzione: stai raccogliendo in un vettore i vari minori di ordine \(n-1\) della matrice che ha per colonne i vettori dati, e le proprietà di antisimmetria del determinante implicano l'ortogonalità. Vedi anche qui.

Puoi provare a vedere la cosa così, la stessa cosa che dici tu. Il prodotto vettore \(u \times v\) di due vettori \(u, v \in \mathbb R^3\) è definito come quel vettore con questa proprietà: \[\langle u \times v, a \rangle = \det(u, v, a) \text{ per ogni } a \in \mathbb R^3 .\] Non è difficile a questo punto definire il prodotto vettore di \(n-1\) vettori di \(\mathbb R^n\). [In ogni caso, si usa il fatto che se \(V\) è uno spazio vettoriale di dimensione finita con prodotto scalare \(\langle,\rangle : V \times V \to \mathbb R\), allora \(V \to V^\ast\), \(v \mapsto \langle v, -\rangle\) è un isomorfismo.]