quadriche e forme canoniche

[rocco.g]

ciao a tutti,
qualcuno mi può spiegare come si risolvono esercizi di questo genere ?

1) ridurre a forma canonica la curva xy+2x-y-3=0;

2) riconoscere la seguente curca: 3x^2 -y^2 +x - y =0;

dovrei scrivere la matrice e calcolare gli autovalori mi pare, ma mi trovo sempre male a scrivere la matrice in base all'equazione...

help please

[Legolas87]

2) a occhio è un'iperbole. Completa i quadrati per ridurla in forma canonica, è abbastanza semplice. (il completamento dei quadrati funziona solo se manca il termine rettangolare xy)

[rocco.g]

è abbastanza semplice lo so ma non ho capito l ostesso cosa è il completamente dei quadrati...


cmq si è un iperbole...

[Camillo]

Il completamento del quadrato significa questo :
se tu hai ( come nel caso tuo ) : y^2+y lo puoi far diventare un quadrato, naturalmente togliendo quanto è necessario per ripristinare l'espressione iniziale .
y^2+y lo puoi vedere come : ( y+1/2)^2 -1/4 .
Ad esempio il metodo del completamento del quadrato è stato usato per determinare la formula risolutiva dell'equazione di secondo grado.
x^2+bx+c = 0
lo trasformi in :
(x+b/2)^2 -b^2/4 +c = 0 da cui :
x+b/2 = +-sqrt(b^2-4c/4) e quindi : x+b/2 = +- (1/2)*sqrt(b^2-4c) e finalmente :
x= (-b/+- sqrt(b^2-4c))/2 .

[rocco.g]

mm ok vedo di capirci qualcosa...

[karl]

Normalmente all'Universita' la forma canonica
di una conica non si ottiene col completamento
del quadrato (anche perche' questo procedimento
dipende molto dalla forma dell'equazione) ma facendo
uso degli autovalori e degli autospazi o con
procedimenti similari.
La matrice A associata alla conica e':
0...1...2
1...0...-1
0...-1...-6
il cui det. e'=4, diverso da 0 (conica non degenere)
Il minore A33 e':
0...1
1...0
il cui det. e' -1<0 (iperbole).
Troviamo gli autovalori:
-L...1
1...-L
Eguagliando a zero risulta:
L^2-1=0--->L1=-1,L2=+1
Troviamo gli autospazi associati:
Per L1 si ha l'autospazio V1:x+y=0 da cui
ponendo y=1 risulta x=-1
La base di V1 e' quindi: B1={(-1,1)}, la cui forma normalizzata
e' B'1={(-1/sqrt(2),1/sqrt(2)}
Procedendo in maniera analoga,si ottiene l'altro
autospazio V2:x-y=0 e la base normalizzata B'2={(1/sqrt(2),1/sqrt(2)}
Troviamo ora il centro della iperbole:
A11=-1,A22=2,A33=-1 e quindi il centro e':C(1,-2).
Infine eseguiamo la trasformazione:
x=-x'/sqrt(2)+y'/sqrt(2)+1
y=x'/sqrt(2)+y'/sqrt(2)-2
Sostituendo nella equazione iniziale della conica e
facendo i calcoli,si trova l'equazione canonica:
<b>y'^2-x'^2=6</b>
karl.

[rocco.g]

ecco si mi serviva proprio il procedimento di karl

[rocco.g]

emh karl, scusa ti dispiace spiegarmi come hai fatto a scrivere la matrice ?

al posto del 6 non ci doveva essere il -3 ?

potresti farmi anke una sorta di esempio generale per scrivere matrici avendo a disposizione l'equazione della quadrica ?

grazie !

[GIOVANNI IL CHIMICO]

Sarebbe davvero interessante, il mio libro su questo argomento è un pò troppo criptico

[rocco.g]

anke sul mio purtroppo ! non capisco perchè li fanno così !