Giusto per divertirci un po' ed imparare a "staccarci" dai "luoghi comununi" appresi a scuola (ed a volare con la fantasia), proporrei alcuni esempi di spazi metrici funzionali.
Fra questi sono molto interessanti gli spazi metrici che si possono creare con le funzioni numeriche reali continue su [a,b].
Chiamiamo con C[a,b] l'insieme di tali funzioni.
Una metrica può essere definta da :
d(x , y) = sup |x(t) - y(t)|
dove x e y sono due funzioni di C[a,b] e t appartiene a [a,b].
Graficamente :
Questo spazio è anche uno spazio vettoriale con norma :
||x|| = sup |x(t)| .
Un'altra metrica sullo stesso spazio è :
d(x , y) = integrale su [a,b] di (|x(t) - y(t)|
cioè l'area :
Con uno stesso insieme (spazio) si possono allora definire diverse metriche !!! e le proprietà degli elementi dello spazio (punti) dipendono dal tipo di metrica, non sono quindi proprietà assolute !!!
Ciò è, secondo me, l' "anima" della matematica moderna.
Bye.