aiuto problemi algebra

[laurax983x]

mi aiutate a controllare
questi esercizi?

esercizio 1
in R3 sono assegnati i seguenti vettori
u (2,0,2)
v (-3,1,-2)
w (-2,2,0)
determinare
a)z=2u+3v-w
b)il sottospazio S generato da u v w
c) una base per S

esercizio 2
sia T:R3 in R3 l'applicazione lineare definita da
t(x,y,z)=(x+2y,x-y+2,2x+y+z)
determinare
a) una matrice associata a T
b) Ker T
c) una base e la dimensione del Ker e una base
e dimensione
ImT
d) T e' iniettiva?
(mi spiegate il procedimento passo-passo, per favore,
per capire bene come si trovano
basi , autovalori, autovettori, ker, dimker,
ho molti dubbi su come agire con i numeri)

esercizio 3
si discuta e si risolva il seguente sistema
parametrico:
3x+(k+1)y+z=0
ky+6z=3
y+(k+1)z=1

-si risolva per k=0


esercizio 4
sia A la matrice (2 -1 -1)
(0 3 0)
(2 2 5)
trovare
gli autovalori
gli autospazi
eventuale forma diagonale


vi ringrazio, e mi scuso se ho posto
molti quesiti, ma quando faccio gli
esercizi ho sempre troppi dubbi

Grazie
CIAO Laura

[karl]

1° Es.
a)
z=2(2,0,2)+3(-3,1,-2)-(-2,2,0)=
(4,0,4)+(-9,3,-6)+(2,-2,0)=(4-9+2,0+3-2,4-6+0)=
(-3,1,-2)

b)il sottospazio S e' l'insieme dei vettori:
S={a*u+b*v+c*w} con (a,b,c) in R^3.
Facendo i calcoli come in (a) risulta:
S={2a-3b-2c,b+2c,2a-2b}

c)la matrice dei vettori u,v,w e':
2....0...2
-3...1..-2
-2...2...0
il cui determinante e' nullo.Poiche'il minore
2...0
-3...1
vale 2 diverso da 0,il rango di detta matrice e' 2;
cio' significa che una base di S e' quella formata
dai vettori u e v (che sono quelli corrispondenti alle
righe e alle colonne contenenti il minore):
B(S)={(2,0,2),(-3,1,-2)}
Gli altri esercizi in seguito (..ci vuole tempo
anche per la difficolta' delle notazioni).
karl.

[karl]

2° Es.
Presumo che la seconda equazione di T sia x-y+z e
non x-y+2.
a)la matrice A associata a T ,rispetto alla base
canonica {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}, ha come colonne
T(1,0,0),T(0,1,0),T(0,0,1).
Ora e':
T(1,0,0)=(1,1,2);T(0,1,0)=(2,-1,1);T(0,0,1)=(0,1,1)
e dunque :
A=
1...2...0
1...-1..1
2...1...1
[in pratica A e' formata con i coefficienti di T]
Facendo i calcoli si vede che il rango di A e':
r(A)=2.

b+c+d)
KerT e' il sottospazio antimmagine del vettore nullo.
Percio' deve essere:
[x+2y=0,x-y+z=0,2x+y+z=0].
Risolvendo si ottiene:
x=-2y,z=3y e ponendo (per es.) y=-1 risulta:
KerT={(2,-1,-3)} ; dim KerT=3-r(a)=3-2=1
T e' iniettiva solo e solo se KerT si riduce
al vettore nullo (0,0,0) e cio' non e' nel caso
nostro.
dim ImT=r(A)=2
Poiche' il minore
1...2
1...-1
non e' nullo,una base di ImT si ottiene prendendo
le prime due colonne di A (che sono quelle che
contengono il minore suddetto):
ImT={(1,1,2),(2,-1,1)}
karl.

[karl]

3° Es.
la matrice dei coeff. e'
A=
3..k+1..1
0..k....6
0..1...k+1
il cui det. e':
det(A)=3(k^2+k-6) che si annulla per k1=-3 e k2=2
Per entrambi i valori la matrice A ha rango 2 mentre
quella completa ha rango 3 .Pertanto per questi valori
il sistema e' incompatibile.Per tutti gli altri valori
ci sono soluzioni;in particolare per k=0 riisulta:
[3x+y+z=0;6z=3;y+z=1]--->[x=-1/2;y=1/2;z=1/2]

[karl]

4° Es.
l'equazione caratteristica (o secolare,come a volte
si dice) e':
(2-L)...-1..-1
0...(3-L)....0 =0
2.....2....(5-L)
Ovvero:
(3-L)(L^2-7L+12)=0
da cui: L1=L2=3;L3=4
Poiche' le radici non sono tutte distinte
la matrice non e' diagonalizzabile.
Per L1=L2=3 si ha l'autospazio:
(-1)...-1..-1 x
0....(0).....0 y =0
2.....2....(2) z
da cui,eseguendo il prodotto righe per colonne:
(1) x+y+z=0
L'autospazio e' dunque {(x,y,z)} con x,y,z soddisfacenti
la (1).Una base e' {(1,1,-2)}.
Per L=4:
(-2)...-1..-1 x
0....(-1)....0 y =0
2......2...(1) z
da cui,eseguendo il prodotto righe per colonne:
[ 2x+y+z=0 ;y=0;2x+2y+z=0] la cui soluzione e':
[y=0;2x+z=0]--->{(x,0,-2x)}.Base={(1,0,-2)}
karl.

[laurax983x]

grazie per le risposte,
ora le confrontero' con le mie sol

CIAO Laura