base ortonormale...

Messaggioda rocco.g » 02/09/2004, 10:36

ciao,
non riesco a risolvere questo esercizio, o meglio non capisco come farlo.
la traccia è così:
<blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">quote:<hr height="1" noshade id="quote">Vedere se l'insieme dei vettore B = { u1, u2, u3, u4 } è una base ortonormale e provare che il sottospazio L( u1 ,u2 ) è il complemento ortogonale di L( u3, u4 ).
Dove u1 = ( 1,1,0,0 ); u2 = ( 1,-1,0,0 ); u3 = ( 0,0,1,1 ); u4 = (0,0,1,-1)
<hr height="1" noshade id="quote"></font id="quote"></blockquote id="quote">

so che una base è ortonormale se ui * uj = 0 se i != j, mentre è uguale ad 1 se j = i, però non so come fare...

mi aiutate ? magari anche con la parte del complemento ortogonale...
rocco.g
Average Member
Average Member
 
Messaggio: 92 di 531
Iscritto il: 06/11/2003, 16:45

Messaggioda Luca77 » 02/09/2004, 11:42

La parte piu' difficle e' verificare che il sistema dato e' una base; siccome hai 4 vettori, basta verificare che sono linearmente indipendenti, allora generano tutto R^4. E' banale poi vedere se si tratta di una base ortonormale. Basta verificare che i vettori sono a due a due ortogonali, quindi fare tutti i prodotti scalari come hai scritto, e poi verificare che i 4 vettori hanno norma 1.

Per i complementi ortogonali, mi pare banale dal momento che la base e' ortogonale! Il complemento ortogonala a L(u_1,u_2) e' generato da vettori ortogonali ad u_1 ed u_2, e quindi vanno bene u_3 e u_4!

Ciao, Luca.
Luca77
 

Messaggioda rocco.g » 02/09/2004, 13:10

in questo caso quindi nessuno a norma 1 vero ? quindi ne segue che non sono ortogonali ?
però sono ortonormali vero ?
rocco.g
Average Member
Average Member
 
Messaggio: 97 di 531
Iscritto il: 06/11/2003, 16:45

Messaggioda Luca77 » 02/09/2004, 13:36

Allora, hai fatto un po' di confusione. Anzitutto e' vero che nessun vettore dato e' versore, ovvero ha norma 1. Ma questo non ha nulla a che fare con l'ortogonalita'. Infatti, ad esempio, u_1 e' ortogonale ad u_2: il loro prodotto scalare e' nullo!

Luca.
Luca77
 

Messaggioda rocco.g » 02/09/2004, 13:59

qundi cosa si conclude di preciso ?
io pensavo che per le cose che hai detto tu, la base fosse ortonormale ma non ortogonale...
rocco.g
Average Member
Average Member
 
Messaggio: 99 di 531
Iscritto il: 06/11/2003, 16:45

Messaggioda karl » 02/09/2004, 16:08

E' il contrario:l'insieme B e' una base ortogonale
ma non ortonormale (come del resto gia' detto da Luca77).
Piuttosto c'e da aggiungere che non e' necessario
verificare l'indipendenza dei vettori Ui in quanto
un insieme di vettori,non nulli, ortogonali (rispetto
all'ordinario prodotto scalare) ,per un teorema ad hoc ,
forma sicuramente una base.
karl.
karl
 


Torna a Geometria e algebra lineare

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 1 ospite