Teorema di Cramer

[nikki]

Salve, ho un dubbio, come si fa da X = A^(-1) B a dire che xi=(det(Ai)/det(A)) (con Ai matrice ottenuta da A sostituendo la colonna i-ma con il vettore dei termini noti. ) è la sola soluzione?

[karl]

Se si deve dimostrare che la soluzione e' data proprio da
xi=(det(Ai)/det(A)) ,allora la cosa e' complicata a causa
della difficolta' delle notazioni occorrenti.
Se invece si tratta di dimostrare solamente <b>l'unicita'
della soluzione</b>,si puo' fare cosi'.
Supponiamo,per assurdo,che esistano due soluzioni
<b>distinte</b> {xi} e {yi},allora la loro differenza
{xi-yi} sara' soluzione del sistema omogeneo associato
(cioe' quello che ha gli stessi coefficienti delle
incognite e tutti i termini noti nulli).Ora tale sitema ha
come matrice dei coefficienti proprio A e poiche' per ipotesi
det(A)[?]0 tale sistema ha la sola soluzione nulla (o banale)
{xi-yi}=0.Da qui ne viene che <b> {xi}={yi}</b> e cio' porta
all'unicita' delle soluzione per il sistema completo.
karl.

[nikki]

ho trovato la dimostrazione, ma ho un'altro dubbio, sui libri di testo trovo scritto che la matrice inversa A^{-1}=A^{a}/det(A), dove A^{a} è la matrice aggiunta, ma viene anche definita come A^{-1}=tA^{a}/det(A) dove tA^{a} è la trasposta dell'aggiunta, perchè sono equivalenti?