cmq...il teorema del completamento a base (almeno nella versione che ho preso a lezione...sul libro che uso sinceramente non l'ho trovata...anche se mi pare strano..) afferma che
"sia V uno spazio vettoriale di dimensione "n", se v(1),....,v(k) (con k<n) sono vettori linearmente indipendenti, allora esistono i vettori v(k+1),....,v(n) tali che {v(1),....,v(n)} e' una base di V"
la dimostrazione inizia col dire che, preso un vettore v(k+1) che NON appartiene a <v(1),....,v(k)> (che ho visto anche scrivere come span(v(1),....,v(k)), insomma, lo spazio generato dai quei vettori), allora, se si considerano tutti assieme i vettori v(1),...,v(k),v(k+1), questi risultano essere ancora indipendenti (e la cosa e' ovvia). A questo punto se k+1 non e' ancora uguale a n si itera il processo aggiungendo un vettore v(k+2) ecc ecc.
il problema e' che una volta arrivato a "n" non riesco a capire perche' il teorema e' dimostrato...quello che mi manca e' il perche' questi vettori trovati risultano essere generatori dello spazio V, la qual cosa, per quello che ne so, potrebbe anche non essere vera, cioe' potrei trovarmi con n vettori linearmente indipendenti che NON sono una base (anche se so che, usando appunto questo teorema, si dimostra facilmente che questo fatto non puo' accadere...pero' non trovo interessante dimostrare un teorema grazie al teorema stesso
)
magari c'e' qualche ipotesi che non ho considerato e che invece e' essenziale...oppure mi sfugge qualche cosa...non so...qualcuno potrebbe darmi una mano?
ringrazio in anticipo per le risposte che (spero) di ricevere.
marco
p.s. ho usato la notazione un po' impropriamente la notazione v(1) per indicare un vettore con indice "1" (tanto per distinguerlo dagli altri..)
