geometria e algebra

[inginfoaria]

sai t l'endomorfismo che associa al polinomio p(x)=ax^2+bx+c il polinomio
t(p(x))=(a+kb)x^2+(ka+b)x+kc

a)calcolare la matrice associata rispetto alla base {x^2, x, 1}
b)autovalori di T e se t e diagon;

[karl]

Risulta:
t(x^2)=x^2+kx
t(x)=kx^2+x
t(1)=k
la matrice associata e' dunque:
1...k...0
k...1...0
0...0...k
Gli autovalori si ottengono risolvendo l'equazione:
|1-L...k...0|
|k....1-L..0| =0
|0....0..k-L|
ovvero:
(k-L)[(1-L)^2-k^2]=0
da cui si ottengono gli autovalori:
L1=k,L2=1-k,L3=1+k
Essendo essi distinti ed in numero di 3 ,la matrice e'
diagonalizzabile.
karl.

[inginfoaria]

grazie