Esercizio di algebra.

[lorandrum]

Ciao, non riesco a capire questo esercizio. Mi date una mano?

Sia T:R^3->R^3 l'unica applicazione lineare tale che:

T(|1 0 0|)=|3 2 1|, T(|0 1 0|)=|-1 2 -3|, T(|0 0 1|)=|2 4 -2|

e per ogni "a" appartenente ad R sia S:R^2->R^3 l'unica appl. lineare t.c.:

S(|1 2|)=|6 4 2|, S(|2 -1|)=|a 0 4|

Trova per quali a appartenenti ad R si ha ImT=ImS, e calcola la dimensione di (ImT intersezione ImS) al variare di a appartenente ad R.


Scusate per la disposizione dei vettori, ma ci posso fare poco.
Beh, divertitevi [:D]

[karl]

La matrice A (canonica) associata a T e':
|3...-1...2|
|2....2...4|
|1...-3..-2|
e poiche' det(A)=0, il rango di A e' 2 e quindi dim(ImT)=2
Risulta:ImT=L1(3,2,1)+L2(-1,2,-3)=(3L1-L2,2L1+2L2,L1-3L2)
con L1 ed L2 in R.
Assumendo come base di S ((1,2),(2,-1)) si vede che la
matrice B (non canonica) associata ad S e':
|6...a|
|4...0|
|2...4|
il cui rango e' 2 e quindi dim(ImS)=2
Risulta:ImS=L3(6,4,2)+L4(a,0,4)=(6L3+aL4,4L3,2L3+4L4)
con L3 ed L4 in R.
Affinche' sia ImT=ImS deve aversi il sistema:
6L3+aL4=3L1-L2
4L3=2L1+2L2
2L3+4L4=L1-3L2
Dalle ultime due equazioni si trae:
L1=2L3+L4 e L2=-L4 che sostituite nella prima danno
a=4.Solo per questo valore di a risulta ImT=ImS
quando sui parametri L1 ed L2 si operi la sostituzione
lineare:L1=2L3+L4 e L2=-L4.
Ne segue (e qui ho qualche dubbio) che per a=4
dim(ImT ∩ ImS)=2 mentre per a ≠ 4 dim(ImT ∩ ImS)=0.
Spero di non aver fatto troppi e(o)rrori.
karl.