condizione di intersezione tra rette

[markitiello]

salve ragazzi,
volevo chiedervi ma quand'è che due rette non parallele non si incontrano?
Io ho un esercizio da fare che vi propongo:

Dati una retta r passante per il punti A(1,0,2) e B(0,1,1) e il piano c: x+y+z=0

Rappresentare una retta passante per l'origine O(0,0,0) ed incidente alla retta r.

Non capisco come si faccia a imporgli la condizione di incidenza....!

Grazie a tutti
Marko!

think different

[vecchio]

le due rette devono essere complanari e non parallale...
ti ricordo infatti che due rette possono anche essere non parallele ma non intersecarsi...è il caso delle rette sghembe...che infatti non giacciono su uno stesso piano...

<img src="http://www.vecchio85.supereva.it/vecchio.gif" border=0>

[markitiello]

Ok ma due rette sono complanari se sono parallele o se sono incidenti...nel mio caso la retta che devo trovare è perpendicolare alla retta con la quale deve essere anche incidente!!!
Quindi devo concludere che non esiste??

Grazie per la risposta.
Marko!

think different

[vecchio]

rileggendo meglioo il post precedente...non so a cosa ti serva il piano c...forse il problema ha un seguito...
cmq...
e poi chi l'ha detto che la retta che devi trovare è perperndicolare???forse dovresti postare il testo originale del problema...

cmq...
una volta trovata l'equazione della retta r...la scrivi in equazione parametrica...ora basta trovare un retta passante per 0, tale il suo vettore direttore (l',m',n') sia diverso dal vettore direttore di r (l,m,n), e inoltre r' deve appartenere al fascio di piani passante per r.

<img src="http://www.vecchio85.supereva.it/vecchio.gif" border=0>

[vecchio]

allora guarda te lo risolvo...spero di essere più chiaro...

troviamo l'equazione cartesiana della retta r:

x-1/(-1)=y=z-2/(-1)

scrivo il sistema:
{x+y-1=0
{z-x-1=0

questo sistema rappresenta l'intersezione di due piani..ovvero una retta...proprio la retta r.

la stessa retta in equazioni parametriche è:

{x=t
{y=-t+1
{z=t+1

quindi il suo vettore direttore è v=(1 -1 1)

ora bisogna trovare il piano su cui giace r'...poichè r' passa per 0, allora anche il piano che la contiene dovrà passare per 0 e per r (è noto che un piano è univocamente determiinato dati una retta e un punto non appartenente ad essa).

troviamo dunque l'equazione del piano passante per r e 0, utilizziamo il fascio di piani passanti per r ed imponiamo il passaggio per 0.

a(x+y-1)+b(z-x-1)=0 dove a e b sono parametri reali.

impongo il passaggio per 0(0,0,0) e ottengo
a=-b
pongo (per esempio) a=1, da cui b=-1. ( potevo scegliere anche altri numeri...tanto il piano è sempre lo stesso...solamente che ha infinite equazioni...)

sostituisco...
e ottengo che l'equzione cartesiana del piano passante per r e 0 è:
2x+y-z=0.

mentre l'equzione parametrica è:
{x=t
{y=t'
{z=2t+t'

i vettori di giacitura del piano sono dunque w1=(1 0 2) e w2=(0 1 1).

il vettore direttore della retta r' apparterrà dunque allo Span{w1,w2}, con la condizione che (l m n), il vettore direttore di r', sia diverso da kv=k(1 -1 1). quest'ultima condizione è la condizione di non parallelismo.

è più chiaro ora?
chiaramente le rette sono infinite...quindi puoi prendere dei valori a caso...

ciao
il vecchio

<img src="http://www.vecchio85.supereva.it/vecchio.gif" border=0>

[markitiello]

Ti ringrazio sei stato chiarissimo...!
Comunque l'esecizio che avevo postato non è copleto ho omesso che la retta che devo trovare deve essere sia perpendicolare che incidente...!
Ora ho seguito tutto il ragionamento che hai fatto tu e a quel punto è stato semplice continuare:
Il direttore della retta che sto cercando deve essere parallelo al piano che hai trovato (per la complanarità) e perpendicolare alla retta r.
(l,m,n)*(2,1,-1) ->Parallelismo al piano
(l,m,n)*(1,-1,+1) -> Ortogonalità con r

Da cui

{2l+m-n=0
{+l-m+n=0

quindi

{ m=n
{ l=0

quindi (0,1,1)

è il versore ort a r e parallelo allo spazio.

da qui si calcola la retta considerando che passa per 0 quindi

{x=0
{y=t
{z=t

Grazie per la tua spiegazione e per il tempo che mi hai dedicato!!

think different

[vecchio]

di niente!!
ciao

il vecchio

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