spazio vettoriale

Ciao raga,
mi è stato attribuito questo esercizio...ma sinceramente ho capito ben poco. Se qualcuno potesse darmi una mano...grazie.
(Dove scrivo v¬ intendo v con la lineetta sopra)

"Sia V un lambda-spazio vettoriale e U un suo sotto spazio vettoriale.
Sia v¬ la classe di equivalenza {x € V| v - x € V} associata a v € V.
Dimostrare che V/U = {v¬ | v € V} è un lambda-spazio vettoriale."

Diciamo ke stento un po a capire la definizione di V/U...

grazie, ciao.

L.L

Che cosa e' un lambda-spazio vettoriale?

Luca77
http://www.llussardi.it

uno spazio vettoriale definito un corpo che chiamiamo lambda...; lambda puo essere un qualsiasi corpo.

L.L

Anzitutto credo ci sia un errore di battitura nella definizione della classe di equivalenza. v-x dovrebbe stare in U, e' ovvio infatti che stia in V. Poi V/U, lo spazio quoziente, e' l'insieme delle classi di equivalenza: i suoi elementi sono sottoinsiemi di V (sono i sottospazi paralleli ad U). Ci sono considerazioni sottili da fare per dimostrare che si tratta di uno spazio vettoriale: devi definire delle nuove operazioni, e soprattutto devi stare attento che le operazioni risultino ben definite, non dipendano cioe' dal rappresentante della classe di equivalenza.

Ora, che io ti posti la soluzione per intero non ha senso, e non e' istruttivo. Se vuoi lo facciamo insieme; ti posso suggerire sui passaggi piu' delicati.

Luca77
http://www.llussardi.it

grazie luca77
mi piace l'idea.
In effetti ho sbagliato a scrivere, in quella definizione ci voleva una U.

Comunque, x iniziare , devo verificare che V/U sia un gruppo additivo non vuoto.
Non è vuoto perché c'è l'elemento 0¬ (giusto?!), visto che sicuramente 0 € V.
Poi però non ho già la minima idea di come poter definire un addizione tra classi d'equivalenza; suggerimento?

L.L

Beh, la prima cosa piu' naturale che ti verrebbe da fare, se le due classi sono rappresentate da v_1 e da v_2? La classe rappresentata da....

Luca77
http://www.llussardi.it

l'idea meno peggio ke mi viene sarebbe definirla come:
v_1+v_2 := {x € V | v1+v2-x € U}
?!?

L.L

Esatto: il rappresentante della somma tra le classi rappresentate da v_1 e v_2 e' proprio v_1+v_2. Attenzione: prima di verificare le proprieta' di spazio vettoriale, devi controllare che l'operazione sia ben definita: ovvero devi verificare che la definizione non dipende dalla scelta del rappresentante.

Luca77
http://www.llussardi.it

Sarebbe a dire che devo dimostrare ke v_1+v_2 è anche una classe di equivalenza?! (anche se in effetti per quello dovrebbe bastare il fatto che v1+v2 € V)
Se no, non ho ben capito cosa intendi.
Thx

L.L

Se denoto con [v_1] e [v_2] le classi rappresentate da v_1 e v_2 rispettivamente, allora tu definisci [v_1]+[v_2]:=[v_1+v_2]. Devi dimostrare che la definizione e' ben posta; infatti che ti dice che se prendi u_1 e u_2 altri rappresentanti delle classi [v_1] e [v_2] rispettivamente, allora [u_1+u_2]=[v_1+v_2]? Devi cioe' dimostrare che l'operazione definita

+: V/U x V/U --> V/U

e' una funzione.

Luca77
http://www.llussardi.it