esercizi vari su spazio sistemi e matrici

Messaggioda simon-the-wizard » 22/01/2005, 12:41

ancora una volta chiedo una mano in qualche esercizio di ripasso
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simon-the-wizard
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Messaggioda Camillo » 23/01/2005, 20:03

21. VERO, infatti per t = 2 si ha : v1=(2,2,2) ;v2=(0,1,1);v3=(1,0,0)

e risulta facilmente : v1=2*v2+2*v3.

22. VERO : a appartiene ad L ; infatti a è esprimibile come combinazione lineare di u e di v : determino i coefficienti di proporzionalità c1 e c2 così :

a=c1*u +c2*v da cui :

(1,3,-2,3,3) =c1*(1,-1,0,1,1) +c2*(0,2,-1,1,1) che porta al seguente sistema in l1 e l2 :
( 1 = c1
) 3 = -c1+2*c2
( -2= -c2
) 3 = c1+c2
( 3 = c1+c2
da cui si ricava l'unica soluzione : c1 = 1, c2 = 2 e quindi :
a = 1*u+2*v = u+2v.

23.
Si vede subito che : z=u+v e quindi i tre vettori non sono linearmente indipendenti ma dipendenti ;
pertanto w avrà dimensione 2 .

25. FALSO , z = u+v .

26. Se i polinomi sono linearmente indipendenti allora significa che il vettore nullo(= polinomio nullo) si ottiene solo e soltanto come combinazione lineare dei polinomi dati con tutti i coefficienti di proporzionalità c1,c2,c3 tutti nulli.
c1*(1+x-x^2) + c2*(-2+2x^2+2x^3) +c3*(3x-x^3) = 0 da cui :
(c1-2*c2)+(c1+3*c3)x +(-c1+2*c2)x^2 +(2*c2-c3)*x^3 = 0.

Per il principio di identità dei polinomi questo significa porre:

( c1-2*c2 = 0
) c1+3*c3 = 0
( -c1 +2*c2 = 0
) 2*c2-c3 = 0

che dà come soluzioni :
c1= 0 ,c2= 0 , c3 = 0 .
I polinomi sono quindi linearmente indipendenti.

Camillo
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