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Messaggioda leev » 25/01/2005, 23:19

Sia Immagine ; Avete mica una mezza idea di come poter calcolare A^n per n € N??

L'idea induzione non mi piace tanto, perhcé bisognerebbe trovare qulache formuletta..ma non mi sembra troppo immediata.
Penso che si possa fare qualcosa col polinomio caratteristico...ma non so esattamente come.

grazie, ciao!


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Messaggioda asdf » 26/01/2005, 01:54

[quote]<i>Originally posted by leev</i>

Sia Immagine ; Avete mica una mezza idea di come poter calcolare A^n per n € N??

L'idea induzione non mi piace tanto, perhcé bisognerebbe trovare qulache formuletta..ma non mi sembra troppo immediata.
Penso che si possa fare qualcosa col polinomio caratteristico...ma non so esattamente come.

grazie, ciao!

Ciao io credo di averlo dimostrato con l'induzione... Salvo errori di conto, ma ti dò un possibile indizio. L'idea mi è venuta moltiplicando la matrice per se stessa. Come noti la matrice è del tipo
c1 a1 b1
b1 c1 a1
a1 b1 c1
e moltiplicando si ottiene un risultato strano, ovvero trovi al secondo passaggio una matrice di una forma analoga, ma tale che:

a2 = b1 - a1
b2 = c1 - b1
c2 = a1 - c1

Mi sono chiesto allora se valesse la seguente successione per ricorrenza
a(n+1) = bn - an
b(n+1) = cn - bn
c(n+1) = an - cn

A questo punto puoi far scattare l'induzione; nell'ipotesi che valga per a(n) = b(n-1) - a(n-1) ecc... moltiplichi quella matrice per quella di partenza e verifichi che in effetti vale la relazione per n+1. L'induzione dovrebbe essere completa.
Salvo errori di conto del sottoscritto, ma è un po' tardi...
Una volta che hai definito per ricorrenza gli elementi della matrice, iteri le procedure di calcolo e ti trovi prima o poi i tuoi an, bn, cn...
Sono a tua disposizione se ho commesso qualche cavolata.
Ciao!
asdf
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Messaggioda leev » 26/01/2005, 22:42

Ok, credo di aver capito la tua idea. Comunque seppur provata, per trovare An dovrei comunque procedere per ricorrenza.
Io cerco una formula per calcolare direttamente An.

Nel frattempo son giunto a questo:
A è diagonalizzabile, visto che ha 3 zeri differenti che annullano il polinomio caratteristico (devo ancora calcolarli ma dovrebbe essere fattibile).
Diagonalizzabile cioè, per la formula di trasformazione: A=S'DS (dove D è la matrice con gli zeri di prima)
quindi se ne deriva che A^n=S'D^nS

Ora pero il mio problema è: come calcolare S' e S?

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Messaggioda leev » 27/01/2005, 23:12

Ok dovrei averlo risolto...

Comunque qualcuno saprebbe chiarirmi da dove deriva la formula(sempre ke sia giusta):
A*v=k*v ,
dove A è una matrice regolare, k un autovalore e v un autovettore associato.
(come ipotesi dovrebbe esserci il fatto che A ~ D, dove D è la matrice diagonale con gli autovalori)

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