algebra lineare- sottospazi

se ho W={ (x,y,z,t) | x + 2y +z-t= -x-y+t=0} e V generato da (-1,0,0,2), (0,1,2,3),(1,0,0,1)


quella roba x + 2y +z-t= -x-y+t=0 rappresenta il sistema lineare omogeneo che descrive W che si fa con l'ortogonale dell'ortogonale?




Insomma dai vettori di W (-1,0,0,2), (0,1,2,3),(1,0,0,1) dovrei trovare il sistema lineare che descrive V, mettere i due sistemi di U e W in un unico sistema per trovarne una base e tale base è la base di U intersez W ?

Sai che non ho capito assolutamente nulla? Potresti spiegare meglio?
Grazie.

Luca77
http://www.llussardi.it

Il punto è che ho due sottospazi, W e V, il primo dei quali è dato da:



W={ (x,y,z,t) | x + 2y +z-t= -x-y+t=0}



il secondo, V, è generato dai vettori

V=<(-1,0,0,2), (0,1,2,3),(1,0,0,1)>


trovare:

a) sistema lineare omogeneo che descrive V.

b)dimensione e base di V intersez W

c) dimensione e base di U + W




Posso trovare il sistema lineare omogeneo che genera V facendo l'ortogonale di V, trovandone una base, e poi facendo l'ortogonale della base. ok?

La mia domanda era: vedendo com'è strutturato W, quelle equazioni x + 2y +z-t= -x-y+t=0 rappresentano il sistema lineare omogeneo che rappresenta W? Come il sistema che trovo per V con quel procedimento?



Per trovare una base di U intersezione W mi serve sapere i sistemi lineari che generano i due sottospazi, uno già lo ho (quello di W), l'altro lo calcolo, quello di V, metto tutto a sistema ( i due sistemi ) riduco con gauss ed è fatta. ok?


Ma ora per U + W, per determinarne una bse, mi serve sapere i vettori che generano W, che trovo trovando una base di W (molto facilmente, risolvendo il sistema lineare che lo rappresenta).. poi metto tali vettori a sistema con i vettori di V, riduco a scalini e trovo la base. ok?


ma ciò che mi ha spiazzato, se fin qui ci siamo è questo esercizio:


ho due sottospazi di R^3 definiti come segue:



V={(a,b,c,d)| b-2c + d=0}

W={(a',b',c',d')| a'=d', b'=2c'}


trovare le stesse cose e cioè base di V intersez W e base di V+W... insomma come mi comporto in questo caso nel quale, mi pare, che le incognite che figurano nelle equazioni sono diverse? nel senso che quì non c'è solo a,b,c,d ma anche a',b',c',d' ....