Sistema circonferenza+retta

Messaggioda rocco.g » 30/01/2005, 19:10

Ciao,
ho trovato un esercizio che chiede di risolvere graficamente il sitema costituito da queste equazioni:

x^2 + y^2 - 16 = 0
2x + y + k = 0;
x >= 0; y >= 0;

La prima equazione è una circonferenza di raggio r=8 e centro C(0,0);
La seconda rappresenta un fascio improprio di rette...
Dovrei, credo, trovare le rette tangenti alla circonferenza al variare di k considerando il quadrante positivo tenendo conto della terza condizione...
Non so come fare però, è un esercizio che hanno dato a mio fratello che fa il terzo anno del liceo, io non ricordo proprio il procedimento...

Grazie per l'aiuto!!!
rocco.g
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Messaggioda jack » 30/01/2005, 20:28

per trovare l' equazione del fascio tangente alla semicirconferenza basta sostituire a una variabile (x o y) della semicirconferenza, il valore che la variabile assume nel fascio (per esempio sostituisci a x nella semicirconferenza, x=(-y-k)/2); a questo punto ottieni un' equazione di secondo grando parametrica(di parametro k); ti calcoli il delta(che contiene k), e lop poni uguale a 0 (perchè la retta deve avere solo un punto di intersezione...), e trovi probabilmente due valori di k, che sostituiti nel fascio danno le equazioni delle rette tangenti alla Circonferenza; poi ti basta scartare quella che non è tangente nel primo quadrante...
jack
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Messaggioda rocco.g » 30/01/2005, 21:52

si in effetti ho fatto così, perchè ricordavo che bastava porre il delta uguale a zero, il problema è che l'esercizio ha il risultato del tipo:

1 soluzione per K ceh appartiene a (-4,-8)
2 soluzioni per K ceh appartiene a (-4sqrt5, -8)

cioè ci sono tre risultati... facendo il delta al max ne trovi due... con uno che è da scartare di sicuro... perchè sarà fuori dall'intervallo da considerare...
rocco.g
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Messaggioda GIOVANNI IL CHIMICO » 30/01/2005, 22:10

Il raggio della circonferenza è 4, non 8...
la formula della circonferenza è x^2+y^2=r^2
Che tra l'altro discende direttamente dalla sua definizione geometrica, infatti l'insieme dei punti di R^2 equidistanti da un punto 0 detto centro, origine del sistema di riferimento, è definito come l'insieme dei punti tali che il quadrato della norma della loro rappresentazione vettoriale sia sempre uguale al quadrato di un valore fissato detto r, tenendo così in conto anhe del semipiano negativo...
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Messaggioda fireball » 30/01/2005, 22:28

Attenzione Rocco: il raggio non è 8 ma 4 !!!
Se ho ben capito, si tratta di un "classico"
esercizio di discussione grafica di sistemi parametrici.
Viene specificato che è x >= 0 e y >= 0 , quindi
va considerato il quarto di circonferenza
di equazione x^2 + y^2 = 16 che si trova
nel primo quadrante. I punti limite sono
quindi: A(4 ; 0) e B(0 ; 4)
Troviamo per quale valore di k la retta passa per A.
Sostituendo le coordinate del punto nell'equazione
della retta, si ha immediatamente: k = -8
Troviamo per quale valore di k la retta passa per B.
Sostituendo le coordinate del punto nell'equazione
della retta, si trova: k = -4
Poiché gli estremi delle limitazioni
sono inclusi (infatti è x >= 0 e y >= 0),
allora anche le intersezioni tra la retta
e la circonferenza nei punti limite sono
soluzioni accettabili.
Si può quindi concludere:
<b>1 soluzione per -8 < k < -4
2 soluzioni per -4*sqrt(5) < k < -8</b>

Ecco un grafico della situazione:

Immagine

Come si vede, tutte le rette che hanno un k
compreso tra -4*sqrt(5) e -8 intersecano la circonferenza
in due punti, e dunque è per questo motivo
che per k € (-4*sqrt(5) ; -8) si hanno due soluzioni.
Tutte le rette che hanno un k compreso tra -8 e -4
intersecano la circonferenza in un solo punto e quindi
si ha una sola soluzione per k € (-4*sqrt(5) ; -8)
fireball
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Messaggioda rocco.g » 30/01/2005, 23:58

mm ok fireball... credo di aver capito la questione! grazie!!!

si beh ragazzi... spero abbiate capito che ho scritto 8 solo per sbaglio... so ceh il quadrato di 4 è 16 :D ho sbagliato perchè ho scritto veloce...

Grazie a tutti per l'aiuto...
rocco.g
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Messaggioda fireball » 31/01/2005, 14:23

È la terza/quarta volta che vuoi scrivere
la parola "che", ma poi alla fine scrivi sempre "ceh"!!!
Errare humanum est, perseverare diabolicum!!! [:D]
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Messaggioda rocco.g » 31/01/2005, 20:10

ahahh, si praticamente deve essere un errore "mentale" che mi porto dietro da sempre... cioè mi capita sempre di invertire la h con la e... soprattutto quando scrivo veloce... meno male che il significato della frase non ne risente... :D
rocco.g
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