Sistema lineare RETTANGOLARE

Messaggioda FOLLETTO » 08/02/2005, 15:12

salve a tutti volevo porvi una domanda:
supponiamo di dover risolvere un sistema lineare con un parametro h appartenente ad R e supponiamo che questo sistema abbia 3 equazioni e 4 incognite.
Se fosse stato quadrato (cioè con 4 equazioni in 4 incognite)avrei trovato il determinante della matrice incompleta e sarei andata a studiare i casi per cui h=0 e h è diverso da zero.
Nel caso ke vi ho proposto sopra la matrice associata però è rettangolare e quindi il determinante non si può calcolare...e non potendo calcolare il determinante non so come andare a studiare i vari casi sul parametro...
come devo procedere?

grazie mille
FOLLETTO
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Messaggioda goblyn » 08/02/2005, 15:24

Una delle incognite diventa un parametro (come h) e la porti alla destra dell'uguale (nel termine noto insomma). Avrai quindi soluzioni che dipendono da un parametro (la quarta incognita).
goblyn
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Messaggioda asdf » 08/02/2005, 18:00

Lancia un esempio che proviamo a risolverlo insieme...
asdf
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Messaggioda FOLLETTO » 08/02/2005, 20:16

per esempio il sistema proposto da pivot
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Messaggioda FOLLETTO » 08/02/2005, 20:17

2x+y-2z+3w=1
3x+2y-z+2w=4
3x+3y+3z-3w=5
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Messaggioda Nidhogg » 08/02/2005, 20:25

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Messaggioda asdf » 08/02/2005, 21:20

Ok, proviamo a vederlo. Per prima cosa scrivi la matrice dei coefficienti ordinandola in modo comodo;
3 3 3 -3
2 1 -2 3
3 2 -1 2

Se sottrai la prima alla terza, e se sottrai alla seconda (-2/3) volte la prima ti accorgi che hai due righe dipendenti. Vuol dire che il rango della matrice è 2.
Adesso aggiungiamo la colonna dei termini noti.

3 3 3 -3 1
2 1 -2 3 4
3 2 -1 2 5

Il teorema di Rouchè Capelli garantisce che il sistema è risolubile SE E SOLO SE il rango della matrice completa è lo stesso di quello della matrice dei coefficienti.
In realtà nella matrice completa esiste una sottomatrice 3x3
3 -3 1
-2 3 4
-1 2 5
che ha determinante diverso da 0. Vuol dire che la matrice completa ha rango 3, e allora il sistema non è risolubile.
Forse è meglio ragionare su un altro esempio, se vuoi...
asdf
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Messaggioda Camillo » 09/02/2005, 13:13

Soluzione del sistema lineare di 3 equazioni in 4 incognite

( 2x+y-2z+3w=1
) 3x+2y-z+2w=4
( 3x+3y+3z-3w=5

La matrice dei coefficienti [2,1,-2,3;3,2,-1,2;3,3,3,-3]( matrice

incompleta) ha caratteristica : 2.

La matrice completa( ottenuta accostando alla matrice incompleta la

colonna dei termini noti )[ 2,1,-2,3,1;3,2,-1,2,4;3,3,3,-3,5] ha

invece caratteristica 3 .
Allora come conseguenza del Teorema di Rouchè Capelli il sistema non

ha soluzioni ( ha soluzioni solo se le due caratteristiche sono

uguali).

Se ad esempio cambio il sistema iniziale in questo :

( 2x+y-2z+3w=1
) 3x+2y-z+2w=4
( 3x+3y+3z-3w=9

allora la caratteristica della matrice incompleta e di quella

completa sono uguali e valgono 2.

Quindi per il teorema di Rouchè Capelli il sistema ha soluzioni.
Per trovare le soluzioni si scelgono 2 delle 3 equazioni, in modo che

la matrice dei coefficienti di queste abbia caratteristica uguale a 2

.
Questo è verificato scegliendo le prime due equazioni .

Il nuovo sistema ha 2 equazioni e 4 incognite ; scelgo 2 incognite in

modo tale che il determinante dei loro coefficienti sia diverso da

zero e alle rimanenti 4-2 = 2 incognite si attribuiscono valori

arbitrari.
Scelgo come incognite : x,y ( il determinante dei loro coefficienti

vale infatti : 2*2-3*1=1 diverso da zero.), mentre attribuisco valori

arbitrari alle altre 2 incognite : z,w.

A questo punto si risolve il nuovo sistema di 2 equazioni in 2

incognite con determinante non nullo , usando la regola di Cramer o

altri metodi( sostituzione etc..) :

( 2x+y = 2z-3w+1
) 3x+2y = z-2w+4
considero w, z come termini noti .

Si ottiene facilmente la soluzione :
x= 3z-4w-2
y= 5w-4x+5
con z,w arbitrari.
Il sistema ha quindi (00)^2 soluzioni [ infinito alla due).

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