aiuto!!!!!!

Messaggioda marci » 09/02/2005, 12:03

ciao a tutti, chiedo un grande aiuto, ho bisogno di sapere come si risolvono i sistemi lineari con il metodo del PIVOT.....

ad esempio:

X+2Y- Z+2W=3
- Y+3Z+2W=-2
X+4Y-7Z-2W=7

GRAZIE MILLE!!!!!
marci
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Messaggioda asdf » 09/02/2005, 12:20

Ciao!
Immagino che sia il metodo dell'eliminazione di Gauss. In soldoni, scrivi la matrice dei coefficienti delle incognite, con a fianco la colonna dei termini noti
+1 +2 -1 +2 +3
+0 -1 +3 +2 -2
+1 +4 -7 -2 +7

Le soluzioni del tuo sistema non cambiano se tu operi combinazioni lineari delle righe o se le scambi tra di loro. Il metodo dell'eliminazione a scala si basa proprio su questo. In pratica cerchi di "annullare", attraverso queste operazioni, alcuni termini di una colonna, di modo da rendere un sistema quadrato un sistema "triangolare" (facilmente risolubile) o di semplificarti la vita nei sistemi rettangolari. Ragioniamo sull'esempio. Avendo 3 equazioni ma 4 incognite avrà infinite soluzioni oppure neanche una. Vediamo un po' cosa salta fuori...
Teniamo fissa la prima e la seconda riga e sottraiamo la prima alla terza
+1 +2 -1 +2 +3
+0 -1 +3 +2 -2
+0 +2 -6 -4 +4
Vedi che ho annullato i termini al di sotto del +1 della 1^ colonna.Ora vogliamo fare in modo di eliminare quel +2 alla 3^riga 2^ colonna.
Aggiungiamo alla terza riga 2 volte la seconda
+1 +2 -1 +2 +3
+0 -1 +3 +2 -2
+0 +0 +0 +0 +0
L'ultima riga risulta tutta fatta da zeri perchè evidentemente una delle righe era combinazione lineare delle altre. Questo sistema allora si riduce ad essere
x+2y-z+2w=3
-y+3z+2w=-2
ha infinito^2 soluzioni possibili. Sono vettori in cui due parametri sono liberi e gli altri due sono vincolati ad essere dipendenti dai primi due.
Controlla comunque i conti per sicurezza...Se vuoi postane un altro che proviamo insieme.
asdf
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Messaggioda marci » 09/02/2005, 12:50

GRAZIE MILLE, MA IL MIO PROF VUOLE CHE RISOLVIAMO QUESTI SISTEMI CON IL METODO DEL PIVOT CHE NON SO BENE COSA SIA.... MI PUOI AIUTARE?
marci
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Messaggioda asdf » 09/02/2005, 13:49

Posso provarci. Implicitamente io ho applicato una specie di "metodo del pivot". Cerco di spiegarmi.
Scambiando le righe, fai in modo che nella matrice dei coefficienti il termine a11 sia diverso da 0. Allora questo è il tuo primo PIVOT ( p1). Al primo passaggio sommi alla i-esima riga la PRIMA moltiplicata per il primo elemento della riga e diviso per p1. Questo equivale a fare sì che nella prima colonna tutti i termini tranne il PRIMO diventino uguali a 0.
Così la prima colonna è sistemata. Ora il tuo pivot diventa l'elemento a22 (chiamiamolo p2).
Tieni fissa la prima riga e sottrai alla i-esima la seconda moltiplicata per p2 diviso per ai2. Così semplifichi la seconda colonna. Dopo prosegui così. Alla fine otterrai che l'ultima riga è composta solo da zeri a parte il coefficiente di Xn e il termine noto.
Da quella ti ricavi Xn, e risalendo al contrario ti ricavi X(n-1) dalla penultima riga e via così... Spero di essere stato chiaro, non è facilissimo da spiegare, è più facile da applicare.
Se hai un sistema di n equazioni in n incognite questo ti permette di ricavarle una per una. Se hai un sistema come quello dell'esempio, è un po' più incasinato ma ti consente di ricavare LE infinite soluzioni del sistema...Ammesso che ce ne siano.
asdf
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Messaggioda marci » 09/02/2005, 13:53

grazie mille, ti chiedo ancora un favore se mi puoi scrivere i passaggi così mi togli ogni dubbio!!!
grazie mille scusa sono un po' impedita in matematica!!!!
marci
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Messaggioda asdf » 09/02/2005, 14:30

Bene ti propongo questo esempio.
x+2y+z=3
2x+y-z=3
-x+y+3z=0

Scriviamo la matrice completa

+1 +2 +1 +3
+2 +1 -1 +3
-1 +1 +3 +0

Allora prendiamo come primo pivot a11 = 1.
Aggiungo alla 2^ riga la prima moltiplicata per -a21/p1=(-2/1)=-2
Aggiungo alla 3^ riga la prima moltiplicata per -a31/p1 =(1/1) = 1
Diventa

+1 +2 +1 +3
+0 -3 -3 -3
+0 +3 +4 +3

Ora prendo come 2° pivot a22 = -3
Aggiungo alla 3^ riga la prima moltiplicata per -a22/p2=1

+1 +2 +1 +3
+0 -3 -3 -3
+0 +0 +1 0

Abbiamo finito. Il sistema è ridotto ad essere triangolare. Dall'ultima riga ti ricavi z=0.
Risali al contrario e ti ricavi y=1 e x=1. Il metodo è questo...
In bocca al lupo!
asdf
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Messaggioda marci » 09/02/2005, 14:33

grazie mille ora provo con altri esempi poi ti dico se sono riuscita!!!
grazie ancora mi hai salvato
marci
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Messaggioda marci » 09/02/2005, 14:49

scusa se ti martello con le domande ma:

arrivando a questo punto

Ora prendo come 2° pivot a22 = -3
Aggiungo alla 3^ riga la prima moltiplicata per -a22/p2=1

+1 +2 +1 +3
+0 -3 -3 -3
+0 +0 +1 0

se moltiplico la prima riga per 1 mi ritrovo

1 2 1 3
che se l'aggiungo alla 3^ (0 3 4 3) mi da':

1 5 5 6 e non 0 0 1 0

giusto?
marci
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Messaggioda DRT » 09/02/2005, 14:52

si chiama anche ''RIDUZIONE A SCALINI''. Il metodo è ovviamente meccanico.
Dato un sistema, ti scrivi la matrice associata al sistema e riduci con il metodo di eliminazione di Gauss, che consiste nell'applicare operazioni elementari sulle righe, + volte finchè non ottieni una matrice a scalini. Una volta ottenuta la matrice a scalini, basta una sostituzione e il sistema è risolto. Ovviamente se il numero di incognite è maggiore del numero di equazioni, avrai infinite soluzioni.. portando le incognite ''in +'' a secondo membro e trattandole come parametri.

Il metodo di eliminazione di Gauss va applicato finchè la matrice non è ridotta a scalini.
Una matrice si dice ridotta a scalini se avvengono due fatti:

<b>1) Se una riga è nulla, tutte le successive DEVONO essere nulle.

2)Il primo elemento NON nullo di una riga è SEMPRE più a SINISTRA del primo elemento non nullo delle righe successive.</b>


Esempio


1 2 3 9
0 5 6 1
0 2 0 0


questa matrice NON è a scalini.

mentre


4 5 2 3
0 5 6 4
0 0 1 0

questa è a scalini, perchè verifica ENTRAMBE le proprietà.

ciao
DRT
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Messaggioda asdf » 09/02/2005, 14:52

Hai ragione in realtà ho moltiplicato la SECONDA. Scusa è stato un mio errore di distrazione...
asdf
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