diagonalizzazione

[ingegnere]

ho una matrice 3x3

2 1 (a-1)
0 a 0
1 2 a

con a appartenente ai reali.La soluzione dice che la matrice è diagonalizzabile solo se a è diverso da 0,1 potreste spiegarmi il motivo?

bo?

[Woody]

Il polinomio caratteristico della matrice è:
P(x)=(a-x)*((2-x)*(a-x)-(a-1)*1)=(a-x)*((2-x)*(a-x)-a+1) -->
P(x)=(a-x)*(x^2+(-2-a)*x+(2a-a+1))=(a-x)*(x^2-(a+2)x+(a+1)).
Supponiamo che la matrice sia diagonalizzabile; allora il polinomio caratteristico si fattorizza completamente in irriducibili di 1° grado. Dunque il polinomio: x^2-(a+2)x+(a+1) deve avere due radici reali. Perciò:
(a+2)^2-4(a+1)>=0 --> a^2+4a+4-4a-4>=0 --> a^2>=0 vero per ogni a reale.
Quindi, a meno che io non abbia sbagliato a fare i conti, la condizione "a diverso da 0 e da 1" è errata!

[Woody]

RETTIFICO: mi sono dimenticato, nella fretta, che se la matrice è diagonalizzabile, allora deve risultare che la molteplicità algebrica degli autovalori deve essere uguale alla molteplicità geomentrica di essi. Gli autovalori sono:
l1=a l2=1 l3=a+1
Ma(l1)=1. Mg(l1)=3-2=1
Infatti riducendo a scalini A-a*I:
2-a 1 a-1 0 2a-3 a-1 1 2 0
0 0 0 0 0 0 0 2a-3 a-1
1 2 0 1 2 0 0 0 0
Supponiamo a diverso da 1:
Ma(a)=1 Mg(a)=1

1 1 a-1 1 1 a-1 1 1 a-1
0 a-1 0 0 a-1 0 0 a-1 0
1 2 a-1 0 1 0 0 0 0

Ma(a+1)=1 Mg(a+1)=1
1-a 1 a-1 0 2a+3 0 1 2 -1
0 -1 0 0 -1 0 0 -1 0
1 2 -1 1 2 -1 0 0 0

Dunque se a è diverso da 1 la matrice è diag.; se invece a=1 -->
Ma(1)=Ma(a)=2 e Mg(1)=1 . Dunque la matrice è diag. <--> a diverso da 1.