Iperbole equilatera

[nikki]

Si dice se ha i punti impropri reali e in direzioni ortogonali, ho difficoltà a capire il concetto di punto improprio, è un punto nella concezione classica oppure no, ritornando alla iperbole che rapporto c'è tra gli asintoti e i punti impropri?

[Luca.Lussardi]

Il punto improprio non e' un punto "ordinario", bensi' un aggiunta che rende una coppia di rette sempre incidenti, in un punto improprio se esse sono parallele. I punti impropri sono definiti come direzioni delle rette stesse, in modo che rette parallele abbiano la stessa direzione, e quindi si incontrino in un punto improprio.

Poi, ad esempio, gli asintoti di un'iperbole non sono altro che le rette del piano che sono tangenti all'iperbole nei suoi due punti impropri (che sono reali proprio perche' e' un'iperbole).

Luca Lussardi
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[Luca.Lussardi]

Dai anche un'occhiata qui, se vuoi: http://www.llussardi.it/pproiett.html

Luca Lussardi
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[nikki]

vediamo se ho capito:le coordinate non omogenee si riferiscono al piano affine, le coordinate omogenee al piano proiettivo, cioè al piano affine con l'aggiunta dei punti impropri e immaginari. Allora quando trasformiamo le coordinate effettuiamo una proiezione?
Che differenza c'è tra spazio affine ed euclideo?

[Luca.Lussardi]

Il piano proiettivo si ottiene aggiungendo i punti impropri al piano affine. I punti immaginari possono anche essere propri, se il piano proiettivo e' complesso, e non reale.

Una trasformazione di coordinate non e' necessariamente una proiezione, ma nel piano proiettivo le proiezioni sono corrispondenze biunivoche, quindi legittimi cambiamenti di coordinate.

Infine, nello spazio affine la sola definizione portante e' il parallelismo; se immetti una metrica, ovvero una distanza tra punti, allora le cose cambiano. Ad esempio, se costruisci lo spazio affine su uno spazio vettoriale, e poi metti un prodotto scalare sullo spazio vettoriale stesso, questo ti induce una distanza tra punti dello spazio affine corrispondente, che quindi viene a diventare spazio euclideo.

Luca Lussardi
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[nikki]

scusa mi sono espresso male per trasformazione erroneamente intendevo il passaggio da coordinate omogenee a coordinate non omogenee

[Luca.Lussardi]

Quella non e' una trasformazione del piano proiettivo in se', quindi non c'e' nemmeno da chiedersi se si tratta di un cambiamento di coordinate.

Luca Lussardi
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[nikki]

ok sto cominciando a capire, ma ho altri dubbi: ritornando alla definizione di iperbole equilatera, che vuol dire punti impropri reali in direzioni ortogonali? Io immagino che nel piano proiettivo l'iperbole equilatera equivale a 2 ellisse che si chiude all'infinito nei due punti impropri, ma cosi hanno la stessa direzione i 2 punti impropri?

[Luca.Lussardi]

L'iperbole e' proiettivamente equivalente ad una ellisse (perche' due?). E' praticamente una ellisse con due punti impropri distinti. Se ce ne fosse uno solo, allora si avrebbe la parabola. I punti impropri sono le direzioni degli asintoti; un 'iperbole poi e' equilatera se i suoi asintoti sono ortogonali.

Luca Lussardi
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[nikki]

Non riesco proprio a immaginare graficamente come si traduca tutto questo, potresti inviarmi dei disegni?