quesiti di algebra lineare.

[lorandrum]

Data una matrice a scala S di m righe e n colonne.
Come faccio a dimostrare che le colonne di S corrispondenti ai pivot di S sono una base per l'immagine di S?

[Elijah82]

tali colonne sono linearmente indipendenti. poiché il rango è pari al numero di tali colonne, tutte le altre sono linearmente dipendenti. poiché l'immagine di un qualunque vettore v attraverso S, ovvero il vettore Sv, è combinazione delle colonne di S attraverso i coefficienti v_i, si ha che tale combinazione lineare è esprimibile in funzioni delle colonne linearmente indipendenti, ovvero quelle corrispondenti ai pivot. poiché questo vale per ogni vettore, tali colonne sono una base per l'immagine di S.

[lorandrum]

Grazie!

Avrei un'altra domanda. Se data una matrice associata ad un'applicazione lineare (facciamo da R^n a R^m, per semplicità), voglio studiarmi il kernel, devo ovviamente ridurre la matrice a scala e porre il vettore nullo come vettore dei termini noti. Se il sistema siffatto è incompatibile, cioè non ha soluzioni, è giusto dire che il kernel è l'insieme vuoto? Questo influisce anche sull'immagine di questa applicazione lineare (mi pare di no, ma voglio essere sicuro)?