proiezione ortogonale

[leev]

Ciao
Cercasi aiuto x questo problema di algebra lineare:

"Sia V uno spazio vettoriale euclideo. Sia p € End(V) tale che p^2=p (idempotente) e (p(x),y) = (x,p(y)) per tutti x,y € V.
Dimostrare che p è la proiezione ortogonale di V su un certo sotto-spazio vettoriale di V."

Che la proiezione abbia quelle proprietà è chiaro; xo dimostrare che : se un endomorfismo ha quelle proprietà, allora è la proiezione, mica tanto...

Grazie
ciao

L.L

[leev]

vi scongiuro..hehe
datemi una mano...
mi ha verametne dannato l'anima sto prob....le provo da tutte le parti ma nn funzia ghghhg

L.L

[Luca.Lussardi]

Prova a fare cosi': definisci W come insieme dei punti fissi di p: cioe' W e' il sottoinsieme di V costituito da quei vettori v tali che p(v)=v. Dimostri che W e' un sottospazio vettoriale di V, e infine mostri che p e' la proiezione ortogonale di V su W.

Non so se quello che ho scritto sara' vero, ma mi sembra la strada piu' naturale per risolvere un problema di questo tipo.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[leev]

grazie luca;
non so se è esattamente quello che intendi te ...cmq oggi mi è stato dato un aiuto del tipo che:
- lo il sottospazio su cui effettuare la proiezione sarebbe p(V), cioè l'immagine.
- ogni x € V la posso scrivere come x = p(x) + [x - p(x)]

Dunque dato che p(x) appartiene chiaramente all'immagine, non mi resterebbe da mostrare che [x - p(x)] appartiene al sottospazio ortogonale all'immagine.
Sinceramente xo nn saprei come farlo....

L.L

[leev]

beh ora mi vien in mente che, viste le proprietà, si potrebbe fare:
(p(x),x-p(x))=(x,p(x-p(x)))=(x,p(x)-p2(x))=(x,0)=0....
e quindi x-p(x) appartiene all'ortogonale di p(V)...

però mi sembra un po troppo facile x essere ok...che ne dite?

L.L