Esercizio di Algebra

[Bandit]

V={(1,0,-1,5)(1,1,1,0)(0,-2,-4,10)} che chiamerò rispettivamente v1,v2,v3

Wh={(x,y,z,t) x+2y+z=2x+y+2z=2x+4y+2z+ht=0}
Calcolare:Base BV? dim Wh,per ogni h?Base BWh per ongni h?Base BV+W0 (con parametro =0)? determinare i valori di h per i quali R^4=V+Wh (con + voglio indicare la somma diretta)? trovare i complementari di W0?

ragioniamo:
devo vedere innanzitutto se la combinazione lineare di v1,v2,v3 è =0.Poichè i primi due sono indipendenti allora posso verificare se la combinazione lineare di v1,v2=v3. Viene che sono legati e quindi la dimensione di BV e 2 e scelgo v1,v2.

semplificando il sistema per Wh, ottengo che per h=0 ho 2 parametri (z,t) liberi e quindi 2 dimensioni, per h diverso da 0,ho 1 parametro, quindi 1 dimensione. Perchè questo?me lo spiegate?
dovrebbe venire per h diverso da 0 BWh{(-1,0,1,0)}; per h=0 BW0{(-1,0,1,0)(0,0,0,1)}

la base BV+BW0 {(1,1,1,0)(-1,0,1,0)(0,0,0,1)}
mi aiutate a proseguire?
grazie

[Bandit]

ma è difficile?

[Bandit]

dai, una piccola manina

[Bandit]

up

[Addieco86]

Innanzitutto c'è un errore di fondo nel calcolo della base si Wh. Wh ha dim=2 indipendentemente da h. Nel caso generico dal sistema si ricava
x=-(h/3)t-z
y=-(h/3)
e quindi una base è
[ (-1,0,1,0) , (-(h/3),-(h/3),0,1) ]
che per h=0 diventa
[ (-1,0,1,0) , (0,0,0,1) ]

In fondo il risultato dev'essere per forza dim=2, in quanto altrimenti la somma tra v e Wh non potrebbe generare R^4.
Il risultato della base di V+W0 è dovuto al fatto che il vettore (1,0,-1,5) precedentemente trovato è comb. lin. degli altri tre. Prima di procedere riscrivo le basi trovate:

BWh=[ (-1,0,1,0) , (-(h/3),-(h/3),0,1) ]
BV= [ (1,0,-1,5) , (1,1,1,0) ]

Trovare i valori di h per i quali V+Wh genera R^4 significa trovare i valori di h per i quali questi vettori qui sopra sono indipententi. Per esempio potremmo porre che il vettore che dipende da h sia combinazione lineare degli altri tre secondo 3 coefficienti generici a,b,c.
Ne esce fuori un sistema dal quale si ricava che i coefficienti sono 1/5,0,1/5, e h=0. Il che significa che i 4 vettori sono dipendenti se e solo se h=0. Per qualsiasi altro valore di h essi generano R^4.

Per trovare i complementari di W0 in R^4 dobbiamo trovare altri due vettori indipendenti dai due vettori della base trovata per W0. Uno lo conosciamo, si tratta di v2, e come quarto vettore prendiamo (per semplicità) uno dei vettori della base canonica, (1,0,0,0).
Per verificare che sia indipendente dagli altri basta mettere i 4 vettori per colonna e calcolare il semplice determinante della matrice ottenuta, che è chiaramente diverso da 0. I due complementari sono quindi v2 e (1,0,0,0).

[Camillo]

X Addieco86 : sono un po' perplesso sulla tua soluzione del sistema .
Io ottengo :
*h div da 0
x = x
y=0
z= -x
t = 0/h = 0
quindi 1 variabile libera


* h=0
x=x
y=0
z=-x
t = t
quindi 2 variabili libere.

Camillo

[Addieco86]

In questo momento non posso ancora ricontrollare, non ho tempo, però posso dirti che se la soluzione fosse come hai detto tu la domanda successiva non avrebbe senso (per quali h la somma genera R^4), non pensi?

[Camillo]

Ho ricontrollato e la tua soluzione del sistema non è corretta, prova a porre h = -9 ad es. e vedrai che non torna.
Ho ricontrollato anche la mia e mi sembra invece corretta.
Naturalmente questo comporta che :
* se h diverso da 0 :
DIM WH= 1 ; una base WH : (1,0,-1,0)

** se h = 0 :
DIM W0= 2 ; una base W0 = [(1,0,-1,0) ; (0,0,0,1)]

Camillo