Ragazzi, mi dite se la dimostrazione di Grassmann è corretta?
Allora, la tesi è:
<b>dim(S+T) + dim(S int T) = dimS + dimT</b>
La dimostrazione è la seguente:
Sia <b>{u, u1, uh }</b> una base del sottospazio S interzione T, quindi dimensione di questo sottospazio è <b>dim(S int T ) = h</b>.
Ora S int B sta in S quindi possiamo completare la base precedente prendendo alcuni vettori di S in modo da ottenere <b>una base di S { u, u1, uh, v, v1, vp}, tale base ha dimensione dimS=(h+p)</b>. Stesso discorso vale per T quindi <b>una base di T sarebbe {u, u1, uh, w, w1, wq} e tale base avrebbe dimensione dimT = h + q</b>.
Se dimostriamo che <b>B = {u1, uh, v1, vp, w1, wq } è una base di S + T, con un semplice calcolo delle dimensioni possiamo provare la tesi</b>.
Ora tali vettori formano una base di B se:
1. sono generatori
2. sono linearmente indipendenti.
Per il fatto che sono generatori si può dire che questo è verificato se esiste un vettore x appartenente a S+T che è combinazione lineare di un vettore appartenente ad S ed un appartenente a T. <b>Ma questo perchè è vero ?</b>
Per dimostrare l'indipendenza, la relazione:
au + avh + bv + bvp + cw + cwq = 0
deve essere vera solo se i coefficienti sono tutti nulli.
<b>Perchè si vede che cw + cwq appartiene ad S e T e ad S int T ? nn dovrebbe appartenere solo a T e non ad S ?</b>
mi spiegate, per favore, questi due punti che non mi sono chiari ?
Grazie!