Matrice diagonalizzante (autovalore doppio)

[INKOGNITO]

Domanda stupida, ma essenziale!
Se devo determinare la matrice che diagonalizzi la matrice seguente:
A=[1 0 -1;0 3 0;0 0 3] (; per indicare newline come in Matlab), dopo aver trovato che gli autovalori sono 1 e 3 doppio (confermate?), controllo che sia diagonalizzabile, e lo è (almeno così pare), per trovare la base di autovettori procedo trovando i generatori dell'autospazio corrispondente all'autovalore 1 (ad esempio [1;0;0]) e poi a quello corrispondente all'autovalore 3 (ad esempio [1;0;-2]), giusto? Hmm.. poi mi perdo, nel senso.. ho bisogno di 3 autovettori per costruire la matrice diagonalizzante, ma ne ho solo 2.. dove caspita trovo il terzo?!
Grazie in anticipo a chiunque mi voglia dedicare 5 minuti del suo preziosissimo tempo per rispondere a questa domandina che penso sia abbastanza banale, ma alla quale al momento non so dare una risposta!

Alla prossima


Common sense is not so common - Voltaire

[Addieco86]

Devi stare attento in un punto in particolare. Quando hai trovato l'autospazio corrispondente all'autovalore a=3, per concludere che la matrice è diagonalizzabile, andava notato che tale autospazio ha dimensione 2. Ed infatti è così. Ora devi trovare due vettori della base di tale autospazio. Questi due vettori sono il secondo ed il terzo dei 3 vettori che cerchi per la matrice di cambio di base.

Se scrivi la matrice A-3I ottieni che la seconda e la terza riga si annullano completamente, mentre la prima diventa (-2,0,-1). Ora se scrivi sottoforma di equazione, hai (-2)x + (0)y + (-1)z=0.
Ciò significa che z=-2x, ma attento, non hai nessuna informazione sulla y, che può essere qualsiasi. I due autovettori sono quindi:
(1,0,-2) e (0,1,0).
Ricorda, questo discorso vale sempre, se un autovalore è (almeno) doppio e la matrice è comunque diagonalizzabile, automaticamente la base dell'autospazio corrispondente a tale autovaolore sarà formata da più di un autovettore, sta a te trovarli tutti risolvendo il sistema la cui matrice dei coefficienti è proprio A-(autovalore)I.

Se non sono stato chiaro su qualche punto chiedi pure.

[INKOGNITO]

Grazie mille per la risposta. Sapevo di dover controllare la dimensione dell'autospazio per confrontare molteplicità algebrica e geometrica dell'autovalore prima di poter procedere in alcun modo in quanto dovevo stabilire l'effettiva diagonalizzabilità della matrice. Per quanto riguarda il secondo autovettore associato all'autovalore 3.. mi è venuto in mente stanotte che il secondo era appunto quello con y arbitrario.. avevo intuito che la mia domanda era abbastanza sciocca.. e non sono stata smentita
Grazie lo stesso!
(spiegazione chiarissima in ogni caso)

Common sense is not so common - Voltaire