Prodotto scalare dei polinomi

[Rock Drummer]

salve gente.. ho cercato ma non ho trovato risposte riguardo questo esercizio, quindi chiedo cortesemente il vostro aiuto.
Devo calcolare il prodotto scalare dei polinomi p(t)=$2*t^2$ +2t +2 e q(t)=$-t^2$+2t$-sqrt(3)$.
il prodotto scalare tra due vettori so come si fa ma tra polinomi no. grazie.

[NightKnight]

Basta che consideri il vettore dei coefficienti: $v=(2,2,2) \ , \ w=(-1,2,-sqrt(3)$

[Camillo]

Basta che consideri il vettore dei coefficienti: $v=(2,2,2) \ , \ w=(-1,2,-sqrt(3)$

E che significato possiamo attribuire al risultato $2-2sqrt(3)$ ?

[Rock Drummer]

se è così il risultato dovrebbe essere $2-2*sqrt(3)$ come dice camillo... sicuri che è così?

[NightKnight]

E che significato possiamo attribuire al risultato $2-2sqrt(3)$ ?

Cosa intendi??

[Camillo]

Intendo che il prodotto scalare di due vettori nello spazio euclideo produce un numero reale che è la misura della proiezione di un vettore sull'altro (se uno dei due vettori è un versore).
Nel caso dei polinomi cerco di rendermi conto a cosa potrebbe essere assimilato il pordotto scalare...

[gugo82]

Se posso intromettermi...

In realtà sui polinomi si possono fare due diversi tipi di considerazioni, a seconda che li si consideri come fanno gli algebristi o come fanno gli analisti.
La differenza consiste in questo: per un algebrista, un polinomio non è né più né meno di una successione definitivamente nulla a valori in un anello (ad esempio $RR$); per un analista di norma un polinomio è un'applicazione che contiene unicamente una combinazione lineare di alcune potenze intere della variabile.

Dal punto di vista "algebrico", l'anello dei polinomi reali $RR[X]$ è praticamente indentificato con la classe delle successioni definitivamente nulle:

$c_(00):=\{ p=(p_n) \subseteq RR: exists nu \in NN_0: AA n >=nu, p_n=0\}$,

quindi si può mettere su $RR[X]$ il prodotto scalare canonico di $c_(00)$, ossia:

(a) $<< p,q >> :=\sum_(n=0)^(+oo) p_nq_n$

(ciò equivale a fare le somme dei prodotti dei coefficienti delle potenze omologhe); noto che la serie a secondo membro è, in realtà, una somma finita.

Dal punto di vista "analitico", viene naturale considerare le restrizioni dei polinomi ad intervalli limitati, tipo $[a,b]$, e quindi di solito si mette su $RR[X]$ il prodotto scalare integrale:

(b) $<< p,q>> :=\int_a^b p(x)*q(x)" d"x$.

Ovviamente i due approcci portano a diverse concezioni di ortogonalità e tutto il resto... E tra le due diverse opzioni non c'è alcun legame: basti pensare che $x,x^2$ sono ortogonali rispetto al prodotto scalare (a), ma non ortogonali rispetto al prodotto scalare (b) con $[a,b]=[0,1]$; analogamente i polinomi di Legendre d'ordine $0$ e $2$, ossia:

$p_0(x)=1, p_2(x)=1/2(3x^2-1)$

sono ortogonali rispetto al prodotto (b) con $[a,b]=[-1,1]$ ma non ortogonali rispetto al prodotto (a).

[NightKnight]

esattamente: quindi "per gli algebristi" lo spazio dei polinomi di grado al più 2 $RR[X]_{leq 2}$ si pensa identificato con lo spazio euclideo $RR^3$.

[rubik]

Intendo che il prodotto scalare di due vettori nello spazio euclideo produce un numero reale che è la misura della proiezione di un vettore sull'altro (se uno dei due vettori è un versore).

questo secondo me è vero in $RR^3$ o $RR^2$ dove abbiamo una nozione "naturale" di proiezione, per spazi di dimensione euclidei di dimensione più alta (o spazi più esotici) la cosa che dici te è vera per definizione.

come dice Gugo dati diversi prodotti scalari avrai divese relazioni ortogonalità, diverse "proiezioni" e così via.

spero di non aver espresso un concetto troppo vago

[Camillo]

Intendo che il prodotto scalare di due vettori nello spazio euclideo produce un numero reale che è la misura della proiezione di un vettore sull'altro (se uno dei due vettori è un versore).

questo secondo me è vero in $RR^3$ o $RR^2$ dove abbiamo una nozione "naturale" di proiezione, per spazi di dimensione euclidei di dimensione più alta (o spazi più esotici) la cosa che dici te è vera per definizione.

come dice Gugo dati diversi prodotti scalari avrai divese relazioni ortogonalità, diverse "proiezioni" e così via.

spero di non aver espresso un concetto troppo vago

No no non è vago .
Non so perchè ma mi è chiaro e spontaneo il concetto del prodotto scalare di 2 funzioni continue , $f$, $g $ in un certo intervallo $[a,b] $ inteso come $int_a^b f.gdx $ , invece coi polinomi (che sono pur sempre funzioni ) mi suona "strano".
Ho perso un colpo, succede
Grazie a tutti gli intervenuti per le precisazioni.