Re: Matrici associate ad applicazioni lineari

Messaggioda raffamaiden » 25/04/2011, 14:06

Sergio ha scritto:(omissis)
Tralascio questa matrice e mi rimane il vettore colonna dei coefficienti della combinazione lineare, quindi:
$(T(b_1)" "T(b_2)" "..." T(b_j) "..." "T(b_n))=((a_{11},a_{12},...,a_{1j},...,a_{1m}),(a_{21},a_{22},...,a_{2j},...,a_{2m}),(...,...,...,...,...,...),(a_{m1},a_{m2},...,a_{mj},...,a_{nm}))$
Ecco la nosta matrice!
Ma quel "tralasciare" ha un prezzo
(omissis)


Secondo me l'ultima colonna di quella matrice è sbagliata. Dovrebbe essere:

$((a_{11},a_{12},...,a_{1j},...,a_{1n}),(a_{21},a_{22},...,a_{2j},...,a_{2n}),(...,...,...,...,...,...),(a_{m1},a_{m2},...,a_{mj},...,a_{mn}))$

Infatti la matrice associata ha $n$ colonne: la dimensione del dominio ($V$) (come indicato nella definizione a inizio post). Comunque ti ringrazio molto per queste ottime (almeno per me) spiegazioni: mi hanno chiarito le idee su molte cose. In particolare sul perchè la matrice associata ha quella forma, cosa che il mio testo non spiega minimamente.
raffamaiden
 

Messaggioda hamming_burst » 25/07/2011, 17:01

Segnalo alcuni errori :-)

Indipendenza lineare e basi ha scritto:Che vuol dire? Immaginiamo che $k_1$ sia diverso da $0$ e che si abbia:
$k_1v_1+k_2v_2+...+k_nv_n=0_v$
Essendo (errore manca 1 a pedice) $k_1 != 0$[/color] posso dividere per $k$ ottenendo:
$v_1=-(k_2)/(k_1)v_2-(k_3)/(k_1)v_3...-(k_n)/(k_1)v_n$
cioè potrei esprimere $v_1$ come combinazione lineare degli altri. In questo senso $v_1$ viene detto linearmente dipendente dagli altri: non aggiunge nulla, è "solo" una combinazione lineare di altri vettori (quindi non serve come generatore: se gli altri generano $v_1$, possono generare tranquillamente qualsiasi altro vettore nella cui generazione $v_1$ intervenga; lo possono sostituire).
Se invece posso ottenere (mancano puntini) $k_1v_1+k_2v_2+...+k_nv_n=0_v$ solo con scalari tutti nulli, non posso dividere per nessuno e quindi non posso esprimere nessuno dei vettori come combinazione lineare degli altri; in questo senso ciascun vettore è linearmente indipendente dagli altri (che non lo possono sostituire nella generazione di altri vettori; è un generatore necessario).



Nucleo e immagine di un'applicazione lineare (1) ha scritto:Assumiamo ora che il nucleo abbia dimensione 0, cioè che contenga il solo vettore nullo, e prendiamo due vettori qualsiasi di $V$, $v_1$ e $v_2$, tali che $T(v_1)=T(v_2)$ (se pensiamo che l'applicazone non è iniettiva, dobbiamo poterli trovare).


secondo me dovrebbe essere "se pensiamo che l'applicazione è iniettiva", dipende se ci si riferisce all'immagine dei vettori o ai vettori qualsiasi.

Matrici associate ad applicazioni lineari ha scritto:Ma quel "tralasciare" ha un prezzo: per ottenere davvero l'immagine di $w$, devo moltiplicare quello che ottengo per la matrice degli elementi di $C$; questo vuol dire che $Ax$ non mi dà un elemento di $W$, ma solo le sue coordinate rispetto alla base $C$!.


dovrebbe essere "l'immagine di $v$", se no non ha molto senso a mio avviso.


Nucleo e immagine di un'applicazione lineare (2) ha scritto:Soluzioni:
a) si può ridurre la matrice $A$ per colonne: meglio evitare perché, essendo abituati a ridurre per righe, si rischiano errori tanto banali quanto probabili;
b) si riduce la matrice per righe e poi si possono prendere le colonne di $A$ corrispondenti ai pivot della matrice ridotta; da ricordare che non si possono prendere le colonne della ridotta;
c) si traspone la matrice (facile) e si riduce per righe la trasposta; in questo caso, si possono prendere tranquillamente le righe non nulle della ridotta che, rimesse in colonna, costituiscono le coordinate degli elementi di una base dell'immagine anche se non sono uguali alle colonne di $A$.


Teorema della nullità e del rango ha scritto:1) una volta trovato il rango $r$ della matrice, la dimensione del nucleo dell'applicazione è $n-r$;
2) se una matrice ha rango pieno, cioè rango uguale al numero delle colonne (ancora: se le sue colonne sono linearmente indipendenti), allora ha nullità $0$, quindi l'applicazione è iniettiva;
3) quando dominio e codominio hanno la stessa dimensione, dunque quando la matrice associata è quadrata, se questa ha rango pieno allora è invertibile, quindi è tale anche l'applicazione (esiste l'applicazione inversa). E' infatti anche suriettiva, perché la dimensione dell'immagine è uguale a quella del codominio.


Matrici simili (primi cenni) ha scritto:Consideriamo un caso semplice: ho un'applicazione $T:RR^3 to RR^3$ con base $B$ sia per il dominio che per il codominio e cerco la relativa matrice associata. Conosco però la matrice associata rispetto alla basa canonica, magari perché l'applicazione viene definita in quella che altrove ho chiamato "forma generale".
Ad esempio, se l'applicazione è definita così: $T((x),(y),(z))=((x+y-z),(y+z),(2x))$,


formule dove manca un dollaro, perciò si vedono scritte incomprensibili:

Autovalori/vettori/spazi: le definizioni ed il loro senso ha scritto:Autovalori, autovettori, autospazi: dato un operatore lineare $T:V to V$, un vettore non nullo $v$ di $V$ viene detto autovettore per $T$ se esiste uno scalare $lambda$ tale che:
$T(v)=lambda v$
$lambda$ viene detto
autovalore relativo a $v$. Si dice inoltre autospazio relativo a $lambda$ il sottospazio;
$V_(lambda)=\{v in V" : "T(v)=lambda v\}$
(manca un dollaro alla fine)


Autovalori e polinomi caratteristici ha scritto:$" "="det"(A-lambda I_n)$ (manca un dollaro alla fine)
Lo sviluppo sulla prima riga si basa sul fatto che la matrice identità è simile a se stessa: $N^(-1)I_nN=N^(-1)N=I_n$.
Lo sviluppo sulla seconda si basa sul fatto che il determinante del prodotto di due o più matrici è uguale al prodotto dei relativi determinanti.
La conclusione di basa sul fatto che il determinante di una matrice e quello della sua inversa sono l'uno il reciproco dell'altro, quindi $"det"(N^{-1})"det"(N)=1$. (manca un " alla fine di det)


Controllate, ho segnalato possibili errori. :-)
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Re: Algebra lineare for dummies

Messaggioda raffamaiden » 08/09/2011, 15:04

Io pensavo fossi sparito :D
Comunque grazie a te per le spiegazioni, mi hanno permesso di capire molti concetti poco chiari e superare l'esame con il massimo dei voti (te lo dico perché penso ti faccia piacere, non per vantarmi, anche perché avrei poco di cui vantarmi con una persona che esami di geometria ne avrà dati decine più di me ;) ). Come dici tu (posso darti del tu vero?), è vero che molte semplificazioni alla fine rendono la materia ancora più incomprensibile ;)

Comunque, dopo le opere di restauro del forum, i link del primo post non funzionano più :D
raffamaiden
 

Re: Re:

Messaggioda hamming_burst » 12/09/2011, 13:30

Sergio ha scritto:Questa non l'ho capita. Se pensiamo che l'applicazione non è iniettiva, allora posso trovare due vettori qualsiasi (cioè anche distinti) che abbiano la stessa immagine, altrimenti no.

hai ragione, ho capito male io quando lessi quella frase. :-)

Per il resto, ho corretto le sviste segnalate da te e da raffamaiden. Grazie!

grazie a te per queste dispense :-)
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Re: Algebra lineare for dummies

Messaggioda emaz92 » 15/10/2011, 21:36

sento il dovere di ringraziare per queste dispense.....sul mio libro certe cose non sono chiare ma grazie a queste diventano limpide
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Re: Algebra lineare for dummies

Messaggioda hamming_burst » 21/10/2011, 15:56

fantastico Sergio, ottima idea l'esportazione in PDF :-)

Solo un consiglio: metti un qualche tipo di licenza sul tuo lavoro.
Una volta mi scrivesti: "tutta la libertà che vuoi", ma al giorno d'oggi esistono Licenze fatte apposta per queste belle iniziative, ed esiste anche chi ne approfitta su prodotti non-licenziati; perciò meglio prevenire, secondo me.

Comunque, fai come meglio tu ritenga giusto :smt006
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Re: Algebra lineare for dummies

Messaggioda seven » 05/11/2011, 02:04

Sergio ha scritto:Che dire... certi messaggi fanno proprio piacere.
Tanto che ho deciso di ascoltare quelli che chiedevano una versione su un unico file di queste quattro chiacchiere.
Sta quindi per venire alla luce AlgebraLineareForDummies.pdf. Manca poco...

EDIT: Fatto. Il file è qui:
http://web.mclink.it/MC1166/Matematica/ ... ummies.pdf


Urrà! anche per me sono state utilissime le tue parole, più di ogni altro testo.
Trovo questo modo di esporre molto efficace, chiaro e che stimoli a pensare;
se fosse adottato in un corso si potrebbe fare molto di più negli stessi tempi.
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Re: Algebra lineare for dummies

Messaggioda vict85 » 05/11/2011, 03:50

Sergio ha scritto:Guarda, ho preparato il pdf perché mi era stato chiesto, ma per il resto la "vera" algebra lineare for dummies è quella che si legge nel forum e... "appartiene" al forum.
Vale quindi la regola 3.12: «I contenuti dei messaggi si intendono non protetti da copyright».


Io penso che in tal caso andrebbe segnalato che la versione originale è sul forum con il link alla pagina sul forum.
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Re: Indipendenza lineare e basi

Messaggioda wmatte » 04/01/2012, 11:12

Premetto ringraziando tutti per questa introduzione breve ma assolutamente chiara e illuminante sull'argomento: sono uno studente universitario di Reggio Emilia, e senza questo articolo non saprei come prepare l'esame di Algebra Lineare.

Inolte volevo farvi notare un errore (almeno mi pare!) di calcolo nella parte dove si introducono le Basi: (4,8)=2(2,0)+4(0,1), non dovrebbe essere 4(0,2)?

Buona giornata a tutti! :)

Sergio ha scritto:
Importante! Si dice sempre una base, mai la base, perché le basi uno spazio vettoriale sono infinite.

Esempio 2. Torniamo a $RR^2$, spazio vettoriale rappresentabile come un normale piano cartesiano. I vettori $(1,0)$ e $(0,1)$ ne costituiscono una base, perché, come visto, qualsiasi vettore $(x,y)$ può essere espresso come loro combinazione lineare. Ad esempio:
$(4,8)=4(1,0)+8(0,1)$
Ma non è certo l'unica base: se prendo i vettori $(2,0)$ e $(0,2)$, avrò:
$(4,8)=2(2,0)+4(0,1)$
Cambiano i coefficienti, ma $(4,8)$ è combinazione lineare anche degli elementi della nuova base. E così via: possono essere basi $(12,0)$ e $(0,-3)$, $(\pi,0)$ e $(0,e)$ ecc. Non solo: se due vettori $v_1,v_2$ costituiscono una base, cambiando il loro ordine si ottiene una base diversa (ricordiamolo: una base è un insieme ordinato di vettori).

Perché mai i vettori che sono elementi di una base devono essere linearmente indipendenti? Per capirlo, si deve introdurre un'altra definizione.

EDIT: Apportate piccole, ma non trascurabili, correzioni grazie a ham_burst, che ringrazio.
wmatte
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Re: Algebra lineare for dummies

Messaggioda el principe » 20/02/2012, 12:37

Devo ringraziarti tantissimo perchè ho capito in modo chiaro e semplice l'algebra lineare che a causa del libro di testo incomprensibile e il professore che non sa spiegare molto bene stava diventando un esame che non riuscivo a superare perchè studiavo e facevo gli esercizi ma non avendo chiaro tutto il quadro della situazione alla fine non riuscivo a collegare le varie cose e soprattutto non sapevo applicarle negli esercizi e quindi molto spesso mi riducevo a copiarli cercando di capirci qualcosa...con questi tuoi appunti invece mi è stato tutto chiaro e sono riuscito a passare l'esame...è un lavoro ben fatto in quanto spiega i concetti in modo elementare e il suo obbiettivo e quello di dare un quadro generale tralasciando dimostrazioni che si trovano sui libri di testo...leggendo il tuo testo è stato come fare una chiaccherata piacevole e non impegnativa ma al tempo stesso chiara e che mi ha fatto capire tutto e credo che sia proprio questo il problema dell'università perchè gli studenti si trovano ad aver a che fare con professori che spiegano con un linguaggio ostico e libri di testo incomprensibili quando invece molte volte prima di spiegare un argomento basterebbe fare una piccola introduzione e spiegare in modo elementare e a grandi linee l'argomento come hai fatto tu in modo impeccabile...complimenti davvero e se farai una cosa del genere con altre materie lo leggerò sicuramente ;)
el principe
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