Re: Matrici associate ad applicazioni lineari

Messaggioda raffamaiden » 25/04/2011, 14:06

Sergio ha scritto:(omissis)
Tralascio questa matrice e mi rimane il vettore colonna dei coefficienti della combinazione lineare, quindi:
$(T(b_1)" "T(b_2)" "..." T(b_j) "..." "T(b_n))=((a_{11},a_{12},...,a_{1j},...,a_{1m}),(a_{21},a_{22},...,a_{2j},...,a_{2m}),(...,...,...,...,...,...),(a_{m1},a_{m2},...,a_{mj},...,a_{nm}))$
Ecco la nosta matrice!
Ma quel "tralasciare" ha un prezzo
(omissis)


Secondo me l'ultima colonna di quella matrice è sbagliata. Dovrebbe essere:

$((a_{11},a_{12},...,a_{1j},...,a_{1n}),(a_{21},a_{22},...,a_{2j},...,a_{2n}),(...,...,...,...,...,...),(a_{m1},a_{m2},...,a_{mj},...,a_{mn}))$

Infatti la matrice associata ha $n$ colonne: la dimensione del dominio ($V$) (come indicato nella definizione a inizio post). Comunque ti ringrazio molto per queste ottime (almeno per me) spiegazioni: mi hanno chiarito le idee su molte cose. In particolare sul perchè la matrice associata ha quella forma, cosa che il mio testo non spiega minimamente.
raffamaiden
 

Messaggioda hamming_burst » 25/07/2011, 17:01

Segnalo alcuni errori :-)

Indipendenza lineare e basi ha scritto:Che vuol dire? Immaginiamo che $k_1$ sia diverso da $0$ e che si abbia:
$k_1v_1+k_2v_2+...+k_nv_n=0_v$
Essendo (errore manca 1 a pedice) $k_1 != 0$[/color] posso dividere per $k$ ottenendo:
$v_1=-(k_2)/(k_1)v_2-(k_3)/(k_1)v_3...-(k_n)/(k_1)v_n$
cioè potrei esprimere $v_1$ come combinazione lineare degli altri. In questo senso $v_1$ viene detto linearmente dipendente dagli altri: non aggiunge nulla, è "solo" una combinazione lineare di altri vettori (quindi non serve come generatore: se gli altri generano $v_1$, possono generare tranquillamente qualsiasi altro vettore nella cui generazione $v_1$ intervenga; lo possono sostituire).
Se invece posso ottenere (mancano puntini) $k_1v_1+k_2v_2+...+k_nv_n=0_v$ solo con scalari tutti nulli, non posso dividere per nessuno e quindi non posso esprimere nessuno dei vettori come combinazione lineare degli altri; in questo senso ciascun vettore è linearmente indipendente dagli altri (che non lo possono sostituire nella generazione di altri vettori; è un generatore necessario).



Nucleo e immagine di un'applicazione lineare (1) ha scritto:Assumiamo ora che il nucleo abbia dimensione 0, cioè che contenga il solo vettore nullo, e prendiamo due vettori qualsiasi di $V$, $v_1$ e $v_2$, tali che $T(v_1)=T(v_2)$ (se pensiamo che l'applicazone non è iniettiva, dobbiamo poterli trovare).


secondo me dovrebbe essere "se pensiamo che l'applicazione è iniettiva", dipende se ci si riferisce all'immagine dei vettori o ai vettori qualsiasi.

Matrici associate ad applicazioni lineari ha scritto:Ma quel "tralasciare" ha un prezzo: per ottenere davvero l'immagine di $w$, devo moltiplicare quello che ottengo per la matrice degli elementi di $C$; questo vuol dire che $Ax$ non mi dà un elemento di $W$, ma solo le sue coordinate rispetto alla base $C$!.


dovrebbe essere "l'immagine di $v$", se no non ha molto senso a mio avviso.


Nucleo e immagine di un'applicazione lineare (2) ha scritto:Soluzioni:
a) si può ridurre la matrice $A$ per colonne: meglio evitare perché, essendo abituati a ridurre per righe, si rischiano errori tanto banali quanto probabili;
b) si riduce la matrice per righe e poi si possono prendere le colonne di $A$ corrispondenti ai pivot della matrice ridotta; da ricordare che non si possono prendere le colonne della ridotta;
c) si traspone la matrice (facile) e si riduce per righe la trasposta; in questo caso, si possono prendere tranquillamente le righe non nulle della ridotta che, rimesse in colonna, costituiscono le coordinate degli elementi di una base dell'immagine anche se non sono uguali alle colonne di $A$.


Teorema della nullità e del rango ha scritto:1) una volta trovato il rango $r$ della matrice, la dimensione del nucleo dell'applicazione è $n-r$;
2) se una matrice ha rango pieno, cioè rango uguale al numero delle colonne (ancora: se le sue colonne sono linearmente indipendenti), allora ha nullità $0$, quindi l'applicazione è iniettiva;
3) quando dominio e codominio hanno la stessa dimensione, dunque quando la matrice associata è quadrata, se questa ha rango pieno allora è invertibile, quindi è tale anche l'applicazione (esiste l'applicazione inversa). E' infatti anche suriettiva, perché la dimensione dell'immagine è uguale a quella del codominio.


Matrici simili (primi cenni) ha scritto:Consideriamo un caso semplice: ho un'applicazione $T:RR^3 to RR^3$ con base $B$ sia per il dominio che per il codominio e cerco la relativa matrice associata. Conosco però la matrice associata rispetto alla basa canonica, magari perché l'applicazione viene definita in quella che altrove ho chiamato "forma generale".
Ad esempio, se l'applicazione è definita così: $T((x),(y),(z))=((x+y-z),(y+z),(2x))$,


formule dove manca un dollaro, perciò si vedono scritte incomprensibili:

Autovalori/vettori/spazi: le definizioni ed il loro senso ha scritto:Autovalori, autovettori, autospazi: dato un operatore lineare $T:V to V$, un vettore non nullo $v$ di $V$ viene detto autovettore per $T$ se esiste uno scalare $lambda$ tale che:
$T(v)=lambda v$
$lambda$ viene detto
autovalore relativo a $v$. Si dice inoltre autospazio relativo a $lambda$ il sottospazio;
$V_(lambda)=\{v in V" : "T(v)=lambda v\}$
(manca un dollaro alla fine)


Autovalori e polinomi caratteristici ha scritto:$" "="det"(A-lambda I_n)$ (manca un dollaro alla fine)
Lo sviluppo sulla prima riga si basa sul fatto che la matrice identità è simile a se stessa: $N^(-1)I_nN=N^(-1)N=I_n$.
Lo sviluppo sulla seconda si basa sul fatto che il determinante del prodotto di due o più matrici è uguale al prodotto dei relativi determinanti.
La conclusione di basa sul fatto che il determinante di una matrice e quello della sua inversa sono l'uno il reciproco dell'altro, quindi $"det"(N^{-1})"det"(N)=1$. (manca un " alla fine di det)


Controllate, ho segnalato possibili errori. :-)
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Re:

Messaggioda Sergio » 07/09/2011, 07:03

ham_burst ha scritto:secondo me dovrebbe essere "se pensiamo che l'applicazione è iniettiva", dipende se ci si riferisce all'immagine dei vettori o ai vettori qualsiasi.

Questa non l'ho capita. Se pensiamo che l'applicazione non è iniettiva, allora posso trovare due vettori qualsiasi (cioè anche distinti) che abbiano la stessa immagine, altrimenti no.
Per il resto, ho corretto le sviste segnalate da te e da raffamaiden. Grazie!
"Se vuoi un anno di prosperità coltiva del riso. Se vuoi dieci anni di prosperità pianta degli alberi. Se vuoi cento anni di prosperità istruisci degli uomini" (proverbio cinese). E invece... viewtopic.php?p=236293#p236293
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Re: Algebra lineare for dummies

Messaggioda raffamaiden » 08/09/2011, 15:04

Io pensavo fossi sparito :D
Comunque grazie a te per le spiegazioni, mi hanno permesso di capire molti concetti poco chiari e superare l'esame con il massimo dei voti (te lo dico perché penso ti faccia piacere, non per vantarmi, anche perché avrei poco di cui vantarmi con una persona che esami di geometria ne avrà dati decine più di me ;) ). Come dici tu (posso darti del tu vero?), è vero che molte semplificazioni alla fine rendono la materia ancora più incomprensibile ;)

Comunque, dopo le opere di restauro del forum, i link del primo post non funzionano più :D
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Re: Re:

Messaggioda hamming_burst » 12/09/2011, 13:30

Sergio ha scritto:Questa non l'ho capita. Se pensiamo che l'applicazione non è iniettiva, allora posso trovare due vettori qualsiasi (cioè anche distinti) che abbiano la stessa immagine, altrimenti no.

hai ragione, ho capito male io quando lessi quella frase. :-)

Per il resto, ho corretto le sviste segnalate da te e da raffamaiden. Grazie!

grazie a te per queste dispense :-)
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Re: Algebra lineare for dummies

Messaggioda emaz92 » 15/10/2011, 21:36

sento il dovere di ringraziare per queste dispense.....sul mio libro certe cose non sono chiare ma grazie a queste diventano limpide
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Re: Algebra lineare for dummies

Messaggioda Sergio » 18/10/2011, 15:30

Che dire... certi messaggi fanno proprio piacere.
Tanto che ho deciso di ascoltare quelli che chiedevano una versione su un unico file di queste quattro chiacchiere.
Sta quindi per venire alla luce AlgebraLineareForDummies.pdf. Manca poco...

EDIT: Fatto. Il file è qui:
http://web.mclink.it/MC1166/Matematica/ ... ummies.pdf
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Re: Algebra lineare for dummies

Messaggioda hamming_burst » 21/10/2011, 15:56

fantastico Sergio, ottima idea l'esportazione in PDF :-)

Solo un consiglio: metti un qualche tipo di licenza sul tuo lavoro.
Una volta mi scrivesti: "tutta la libertà che vuoi", ma al giorno d'oggi esistono Licenze fatte apposta per queste belle iniziative, ed esiste anche chi ne approfitta su prodotti non-licenziati; perciò meglio prevenire, secondo me.

Comunque, fai come meglio tu ritenga giusto :smt006
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Re: Algebra lineare for dummies

Messaggioda Sergio » 23/10/2011, 22:00

Guarda, ho preparato il pdf perché mi era stato chiesto, ma per il resto la "vera" algebra lineare for dummies è quella che si legge nel forum e... "appartiene" al forum.
Vale quindi la regola 3.12: «I contenuti dei messaggi si intendono non protetti da copyright».
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Re: Algebra lineare for dummies

Messaggioda seven » 05/11/2011, 02:04

Sergio ha scritto:Che dire... certi messaggi fanno proprio piacere.
Tanto che ho deciso di ascoltare quelli che chiedevano una versione su un unico file di queste quattro chiacchiere.
Sta quindi per venire alla luce AlgebraLineareForDummies.pdf. Manca poco...

EDIT: Fatto. Il file è qui:
http://web.mclink.it/MC1166/Matematica/ ... ummies.pdf


Urrà! anche per me sono state utilissime le tue parole, più di ogni altro testo.
Trovo questo modo di esporre molto efficace, chiaro e che stimoli a pensare;
se fosse adottato in un corso si potrebbe fare molto di più negli stessi tempi.
seven
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