Copertura di una calotta sferica con lamiera piana

[tony]

che passione l'officina, DavideN!
ma purtroppo non ho alcuna idea sui dettagli del processo fisico per sperare anche lontanamente di definirne un modello (e se anche ci arrivassi, non avrei l'agilità matematica necessaria a proseguire)

mi gira la testa pensando a possibili parametri:
temperatura, velocità del processo, tipo di acciaio, premilamiere, raggio della sfera, forma e posizione del "tassello" sferico, (da cui profondità d'imbutitura), spessore della lamiera (prima), spessori min. e max. (dopo), sfibramento ammissibile (funz. dello stiramento locale?), grinze sopportabili

e sono solo alcuni!

io comincerei a fare delle prove per descrivere l'effetto della deformazione, circa così:
0 - per ognuna delle forme, degli spessori e dei materiali in gioco:
1 - sulla lamiera ancora piana traccio una griglia quadrettata il più possibile indelebile, ma senza graffiare la superficie (per evitare di creare linee di strappo o di grinza sotto le enormi tensioni in gioco)
2 - faccio l'imbutitura
3 - taglio gli sfridi, preparando i bordi netti per la saldatura
4 - riporto su carta quadrettata (griglia identica a quella di partenza) il disegno dei bordi rilevato dalle tracce della griglia originale sul pezzo.
5 - ne deduco il rettangolo o trapezio minimo necessario (si taglia con la trancia o col cannello?)
6 - ottimizzo (ed è un problemuccio [:D] a parte) la disposizione dei pezzi (da tagliare) sui fogli di lamiera in base alle quantità da produrre

dopo molte di queste prove avremmo dei dati su cui cominciare a ragionare per pensare a un modello teorico per definire le deformazioni (qui plastiche, là ancora elastiche) del cubetto elementare sito in posizione originale x, y, z;
però,
contemporaneamente, tu avresti in pratica risolto il tuo problema senza bisogno di tanta teoria!

e probabilmente con i miei punti 0-5 ho riscoperto l'ombrello, descrivendo quello che tu fai già per ogni nuovo pezzo.

peccato!
tony, <font size="1">calderaio mancato</font id="size1">

[DavideN]

Eh sì tony, saresti stato proprio un ottimo tecnico "calderaio". Il tuo procedimento sperimentale non fa una piega.
Anche a me sai gira la testa pensando a tutte le variabili in gioco in questo processo di deformazione, e ho già rinunciato a suo tempo, dopo svariate prove con l'aiuto anche di programmi di statistica, a trovarne un modello matematico.
Ma proprio per questo non era mia intenzione proporre il problema in questi termini. Forse mi sono spiegato male, vorrei trovare una soluzione a questo problema in modo del tutto teorico, senza considerare l'aspetto dello stiramento e allungamento del materiale. Immagina che ti abbia proposto di sviluppare in piano una semplice calotta sferica...mi sarebbe bastato ottenere la lunghezza della corda che la rappresenta in una visione bidimensionale! Data questa misura poi è compito mio applicare una certa percentuale come tolleranza per eventuali effetti di allungamento.

Ritornando al problema in esame, il procedimento che io pensavo di seguire è il seguente:
1.individuare il "baricentro" del trapezio sferico (se ha senso parlare di baricentro), ossia un punto all'interno di tale superficie.
2.immaginare di far passare per questo punto un piano tangente alla sfera
3.disegnare su questo piano un "fascio circolare" di semirette (non più di 8/10) con vertice sul punto di tangenza
4.proiettare queste rette sulla superficie sferica.
5.calcolare la lunghezza degli archi che si ottengono dalla proiezione sulla superficie sferica, ossia la distanza tra il punto di tangenza scelto al punto 1 e il profilo del "trapezio sferico"
6.riportare queste misure sulle semirette del punto 3. Unire i punti individuati sulle semirette per ottenere una rappresentazione approssimativa dello sviluppo in piano del "trapezio sferico".

DavideN

[tony]

grazie,
<blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">quote:<hr height="1" noshade id="quote">Eh sì tony, saresti stato proprio un ottimo tecnico "calderaio". <i>[DavideN]</i>
<hr height="1" noshade id="quote"></font id="quote"></blockquote id="quote">
sai, il diavolo fa le pentole ...
ho imparato in quella fucina. [:)]

tornando a cose serie:
fammi capire, il procedimento che descrivi a 1-6 implica (se lo eseguissimo con un sottile foglio di plastica tipo sacchetto della spesa) stiramento zero e una bella grinza sulla bisettrice di ognuno degli spicchi ?

tony

[DavideN]

Esattamente! Però, al posto del sacchetto di plastica consideriamo delle striscette di plastica così evitiamo, oltre al problema dello stiramento, anche il problema delle grinze/pieghe che si formerebbero sulla bisettrice di ogni spicchio. In altre parole (usando un'altra delle tue immagini così efficaci ) consideriamo solo la struttura/le bacchette di un ombrello e non la sua copertuta che, una volta chiuso l'ombrello, formerebbe delle balze.

E' vero che in fase di lavorazione si formano delle grinze sul materiale però non è un problema perchè mediante la pressa riesco a spianarle. Anche l'allungameno del materiale è una conseguenza naturale di questo processo di trasformazione. Ma proprio questo eccesso di materiale, lungo il profilo della sagoma che devo ottenere, è indispensabile per la fase di rifilo e sagomatura. Non ho mai pensato di ottenere, dalla soluzione di questo problema, pezzi che, dopo la lavorazione di imbutitura, siano già pronti e perfettamente sagomati per la successiva fase di assemblaggio. Vorrei invece minimizzare questo pur necessario eccesso di materiale (o sfrido) e vorrei farlo a partire dai dati che otterrò seguendo il mio procedimento.

In definitiva, il mio procedimento riporta la questione ad un problema di geometria senza alcuna implicazione fisica. Però non riesco a risolverlo. Non riesco a risolvere i triangoli sferici e forse mi manca qualche teorema fondamentale sulla geometria della sfera. Se mi potessi venire in aiuto....

DavideN

[tony]

allora forse il problema si semplifica;
conferma, per favore:
ombrello con stecche inestensibili, flessibili in un piano passante per l'asse, NON lateralmente (svergolamento laterale zero)
"seta" di materiale perfettamente elastico, di dimensione originale "strettina", assoggettata quindi solo a stiramento.
le stecche vengono "inchiodate" cm dopo cm sulla sfera, e la seta si tende avviluppandola alla perfezione.

se è così, con un po' di trig. sferica ce la si dovrebbe cavare (metà del problema credo stia nel descrivere correttamente i vari "tacconi").

chiedo in un altro post indicazioni su un libro che sostituisca il mio che va a pezzi.

tony

[DavideN]

Confermato! Ma consideriamo solo le stecche dell'ombrello! perchè il meteriale "setoso" non interessa ai fini del problema. Dunque un ombrello formato dalle sole stecche. Fa molta acqua ma dal mio punto di vista è una copertura sufficiente per quello che devo coprire.

Ti vedo molto scettico al riguardo, ma credimi! se riusciremo a risolvere il problema ti terrò informato sui risultati delle prime applicazioni pratiche.

DavideN

[tony]

<blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">quote:<hr height="1" noshade id="quote">... Ti vedo molto scettico al riguardo, ... <i>[DavideN]</i>
<hr height="1" noshade id="quote"></font id="quote"></blockquote id="quote">
scettico sugli allungamenti zero; non ci credo, ma mi adeguo;
pensando che, se l'allungam. in prima approssimazione è isotropo nelle varie direzioni, il tutto si risolve in un semplice fattore di scala.

...ed ecco un primo risultato:
rappezzato col nastro adesivo il vecchio libro di trigonometria, ho scritto un programmino di prova in Basic, perdendo tempo nella "discussione" di un triangolo sferico che deformava leggermente il fianco destro del diagramma; ora va bene
non ho controllato su un mappamondo la correttezza dei risultati dati in coord. polari).
ho solo verificato plottando il disegno delle tre linee.

allego un campione del calcolo, con abbondanza di punti:
per un semi-trapezio con lato nord a 50°, lato sud all'equatore, lato est a 45°.
(ho usato coordinate di tipo geografico)
gli angoli (e quindi anche le distanze sferiche rho dal centro) son dati sia in radianti che in gradi
c'è ancora un bug trigonometrico per trapezi a cavallo dell'equatore (che il "senatur" ci abbia messo il suo zampino ?)
vedi se è comprensibile e verifica la forma del fazzioletto, se puoi.

tony

Codice:

--- inizio allegato ---
longit. centro=  0.00°  latitud. centro= 25.00°
 punti P sul lato nord, a 50.00°
  longit_P=0.000 =  0.00°  rho=0.436 = 25.00°  theta_da_Nord=  0.000 =  0.00°
  longit_P=0.157 =  9.00°  rho=0.453 = 25.96°  theta_da_Nord=  0.232 = 13.28°
  longit_P=0.314 = 18.00°  rho=0.500 = 28.62°  theta_da_Nord=  0.428 = 24.50°
  longit_P=0.471 = 27.00°  rho=0.568 = 32.56°  theta_da_Nord=  0.573 = 32.83°
  longit_P=0.628 = 36.00°  rho=0.652 = 37.34°  theta_da_Nord=  0.672 = 38.53°
  longit_P=0.785 = 45.00°  rho=0.744 = 42.64°  theta_da_Nord=  0.736 = 42.15°

 punti P sul lato est, a 45.00°
  latit_P =0.873 = 50.00°  rho=0.744 = 42.64°  theta_da_Nord=  0.736 = 42.15°
  latit_P =0.698 = 40.00°  rho=0.704 = 40.31°  theta_da_Nord=  0.992 = 56.86°
  latit_P =0.524 = 30.00°  rho=0.698 = 39.98°  theta_da_Nord=  1.263 = 72.39°
  latit_P =0.349 = 20.00°  rho=0.728 = 41.69°  theta_da_Nord=  1.527 = 87.49°
  latit_P =0.175 = 10.00°  rho=0.789 = 45.21°  theta_da_Nord=  1.765 =101.12°
  latit_P =0.000 =  0.00°  rho=0.875 = 50.14°  theta_da_Nord=  1.971 =112.91°

 punti P sul lato sud, a 0.00°
  longit_P=0.785 = 45.00°  rho=0.875 = 50.14°  theta_da_Nord=  1.971 =112.91°
  longit_P=0.628 = 36.00°  rho=0.748 = 42.84°  theta_da_Nord=  2.098 =120.19°
  longit_P=0.471 = 27.00°  rho=0.631 = 36.15°  theta_da_Nord=  2.263 =129.67°
  longit_P=0.314 = 18.00°  rho=0.532 = 30.46°  theta_da_Nord=  2.486 =142.45°
  longit_P=0.157 =  9.00°  rho=0.462 = 26.47°  theta_da_Nord=  2.783 =159.46°
  longit_P=0.000 =  0.00°  rho=0.436 = 25.00°  theta_da_Nord=  3.142 =180.00°
--- fine allegato ---


[Marco83]

Magari il mio metodo sarà poco bello da un punto di vista scientifico, ma credo che da un punto di vista pratico dia il più affidabile e veloce.

Esistono in commercio dei software specifici per questi tipi di applicazioni (nel caso della deformazione plastica io ho usato un paio di volte Deform 2D/3D).
Ne esistono sia per deformazione plastica, sia per elementi deformati a caldo, dia per iniezione, fusione e così via.

Non dico questo perchè sottovaluto le vostre capacità ma perchè so per certo che le questioni oggetto di questo topic rappresentano interi filoni di ricerca nelle università e l'ottenimento di un modello che rappresenti in modo realistico il processo di deformazione plastica richiede enormi quantitativi di tempo e sperimentazione.

[tony]

ragionevolisseme osservazioni, Marco83;
coincidono in sostanza con le obiezioni che ho posto io quando cercavo di sviscerare il problema.

però, se DavideN si accontenta di una approssimazione del prim'ordine,
ebbene, gliela si può pur dare!

quel che mi "perplime" (non è mia) è che, da quando ho allegato una
prima soluzione numerica, DavideN non si è più fatto vivo !

che cosa sarà successo?

tony

[DavideN]

Fortunatamente sono ancora vivo!

Scusami tony se non ho più risposto. Hai pienamente ragione! Avrei dovuto almeno ringraziarti per il lavoro che hai fatto. Lo faccio adesso. Purtroppo non ho ancora testato tutti i tuoi dati. In parte perché mi sono dovuto documentare sulle coordinate geografiche, in parte perché ho poca pratica di Autocad e impiego circa un quarto d’ora per verificare ogni punto. Concedimi un altro po’ di tempo. Ho verificato quasi tutti i rho_dal_centro ma non ho ancora capito cos’è theta_da_nord.

Poi c’è da dire che Marco83 mi ha messo una pulce nell’orecchio. Ho fatto una ricerca in internet per il programma che mi ha suggerito… risultato, ho trovato un software sul sito www.sinergies.it che si chiama TUBIsoft ed è descritto come “il primo ed il più completo software per il calcolo degli sviluppi di pezzi speciali per tubazioni con oltre 100 figure”. Tra queste figure ho trovato, con mio stupore, proprio quella che mi interessa. Però considera solo “trapezi sferici” con base sull’equatore. E comunque non avrei più il controllo sulle formule, che vorrei inserire nel mio software gestionale. Eh si, non si può avere tutto su un piatto d’argento!