Copertura di una calotta sferica con lamiera piana

Messaggioda DavideN » 19/04/2005, 17:30

Salve amici del forum. Vi propongo un problema che non riesco a risolvere; si tratta di sviluppare in piano una calotta sferica, in modo da calcolare il rettangolo minimo di lamiera che minimizza lo sfrido di materiale.

Premetto che non ho un’adeguata conoscenza della terminologia sulla geometria della sfera, pertanto mi scuso anticipatamente se la descrizione risultasse poco chiara.
Lavoro per un’azienda di carpenteria metallica che produce fondi per cisterne in acciaio; tra questi, una tipologia è rappresentata dai fondi sferici che vengono lavorati alla pressa (attrezzata con appositi stampi “raggiati”) per ottenere, a partire da un disco di lamiera piana, una calotta sferica. Quando però la calotta sferica si approssima ad una semisfera diventa tecnicamente impossibile realizzarla in un solo pezzo deformando un disco di lamiera piana. In questi casi (per essere più precisi questo avviene quando HC>R/3 dove HC= Altezza calotta e R=raggio della calotta) il fondo viene costruito in più pezzi: una calotta (con HC<R/3) più un certo numero di “settori/trapezi sferici”. I settori sferici sono così determinati: immaginiamo una sfera, che viene intersecata da due piani paralleli; otteniamo due calotte sferiche + una “fascia sferica” centrale. Immaginiamo ora di suddividere la “fascia sferica” in parti/spicchi uguali utilizzando dei piani perpendicolari ai precedenti, che ruotano attorno all’asse della sfera. Questi spicchi rappresentano quelli che io chiamo “settori sferici” o “trapezi sferici” (scusatemi di nuovo per la terminologia usata).

In generale possiamo avere fondi con H (altezza della calotta finita)<Raggio con H=R (questo è il caso di una semisfera) e con H>R (al massimo H=1,2*R); inoltre, se le dimensioni del fondo sferico aumentano possiamo avere più livelli di “fasce sferiche”; ad esempio, il primo livello adiacente alla calotta composto da 4 settori, un secondo livello composto da 6 settori. Il problema che si pone è di calcolare lo sviluppo in piano dei “settori/trapezi sferici”. Attualmente viene eseguito un calcolo approssimativo per definire il rettangolo di lamiera da tagliare per cui, una volta lavorato alla pressa e portato al raggio sferico richiesto, basti a coprire la superficie sferica rappresentata dal settore. Questi “rettangoli sferici” vengono poi sagomati (ritagliati nei punti in cui si sovrappongono) e assemblati mediante saldatura.

Quello di cui ho bisogno è riuscire a calcolare:
1) il rettangolo minimo di lamiera piana richiesta e
2) i 4 punti sul perimetro di tale rettangolo “toccati” dai vertici del settore
3) in alternativa, un sistema per sviluppare in piano i settori, prendendo come piano di riferimento quello tangente alla sfera e passante per il punto in cui le diagonali del rettangolo minimo si incrociano.

Informazioni date:
1) Il Raggio della sfera
2) L’Altezza del fondo sferico(H)
3) L’altezza della calotta (HC) ; in alternativa l’angolo al vertice della Calotta; in alternativa la lunghezza dell’arco che la rappresenta in una vista 2D
Per ogni livello di settori:
4) la lunghezza dell’arco che rappresenta il settore in un avista 2D
5) il numero di settori in cui è suddiviso il livello (per ogni livello i settori sono uguali)

Avrei voluto allegare un’immagine per chiarire meglio la situazione ma ho incontrato problemi con un messaggio di debug nella pagina di inserimento del nuovo topic. Se qualcuno si interesserà del problema non esiti a richiedermela al suo indirizzo email. Per altre richieste di chiarimento potete contattarmi all’indirizzo [email protected]
DavideN
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Messaggioda WonderP » 19/04/2005, 18:25

Per postare un'immagine devi prima metterla in rete, in uno spazio web. Poi inserisci il link in questo modo:
['img]link['/img]

senza gli apici (') che ho inserito solo per visualizzare il comando.

Ho avuto qualche difficoltà a seguire il ragionamento, ma magari con un immagine...

WonderP.
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Messaggioda Admin » 19/04/2005, 22:53

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Messaggioda GIOVANNI IL CHIMICO » 20/04/2005, 07:16

non capisco il significato del disegno in rosso...
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Messaggioda DavideN » 20/04/2005, 08:51

Il disegno in rosso rappresenta il rettangolo di lamiera piana che, una volta deformato e fatto aderire alla superficie della sfera, copre interamente il “settore/trapezio sferico”. Immagina che il rettangolo piano, prima di subire deformazioni, sia tangente alla sfera per il punto in cui si incrociano le diagonali nella figura 2.

Non riuscendo a disegnare perfettamente il “rettangolo sferico” a partire da un “settore/trapezio sferico”, ho fatto l’opposto. Prima ho disegnato il rettangolo sulla superficie sferica e poi il massimo “settore sferico” che fosse inscrivibile al suo interno.
Faccio notare tuttavia che per disegnare il “rettangolo sferico” ho prima disegnato le sue diagonali e le due linee mediane (orizzontale e verticale) e quindi unito gli estremi di tali linee con “archi passanti per tre punti”, pertanto non sono sicuro che l’andamento delle 4 curve rosse sia lineare.

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Messaggioda giacor86 » 20/04/2005, 14:24

quando ero piccino, mi inseggnarono alle elementari che una circonferenza non si può stendere su un piano... forse seguendo questo topic verranno sconvolte le mie convinzioni :D
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Messaggioda Admin » 20/04/2005, 20:08

Non hai letto con attenzione.
No si chiede di ricoprire la calotta sferica con un pezzo di piano, ma di utilizzare un pezzo di piano in modo che la parte inutilizzata sia la minima possibile.

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Messaggioda giacor86 » 20/04/2005, 21:42

ah ok! mai sospettare di quello che dicono le maestre delle elementari!!!!
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Messaggioda tony » 20/04/2005, 21:49

dici bene, Admin!
<blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">quote:<hr height="1" noshade id="quote">... utilizzare un pezzo di piano in modo che la parte inutilizzata sia la minima possibile. <i>[Admin]</i><hr height="1" noshade id="quote"></font id="quote"></blockquote id="quote">
e aggiungo per giacor 86 che, sotto una pressa, il processo di "imbutitura" (lo chiamerei così, o con un sinonimo; va bene, DavideN?) deforma plasticamente la lamiera piana originale gonfiandola come se fosse una bolla (e di coseguenza stirandola e diminuendone lo spessore in modo non uniforme) fino a farla aderire alla superficie desiderata. I contorni originali se ne vanno a ramengo, e quello che ci si chiede è proprio di valutare e minimizzare la superficie di questo ramengo.

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Messaggioda DavideN » 21/04/2005, 09:08

Infatti stiamo parlando di un materiale come l’acciaio che per sua natura ha ottime caratteristiche di elasticità e duttilità. La deformazione plastica che subisce mi permette infatti di realizzare una calotta sferica a partire da un disco piano, quando invece a scuola insegnano che sviluppando in piano una calotta si ottiene tutt’altro che un disco (si pensi ad esempio alla rappresentazione piana di un emisfero terrestre).

Si chiama proprio così, imbutitura. Grazie tony per aver illustrato il procedimento! Hai per caso già risolto problemi di questo tipo? La soluzione del problema che ho proposto non è immediata e sicuramente richiederà un po’ di tempo per svolgere tutti i calcoli. Ti vorrei chiedere se c’è la disponibilità da parte tua a fare un tentativo, eventualmente dietro compenso.
Grazie
DavideN
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