Chiedo aiuto a tutti i mod e a Luca Lussardi ;-)

[Luca.Lussardi]

Allora, andiamo con ordine. Non ho letto tutti i post precedenti, per cui puo' essere che ripeta cose gia' dette.
1) Per U e' facile trovare una base, basta scrivere il vettore generico usando le condizioni date. Risulta di dimensione 2. Per W, quelle tre matrici dovrebbero essere indipendenti (da verificare). Se lo sono, sono una base per W. Basta poi scrivere una generica matrice di U ed una generica matrice di W e uguagliarle. Trovi cosi' la matrice generica dell'intersezione, dalla quale risali facilmente alla dimensione di U int W. Stessa cosa per W+U; alla fine verifichi la formula di Grassmann.
2) Prova a far vedere che lo spazio dato non e' chiuso rispetto al prodotto per uno scalare complesso (attraverso un esempio). Poi, passando al reale, ti conviene scrivere i numeri complessi con parte reale ed immaginaria; ti ritrovi quindi come nell'esercizio 1.
3) Standard; usi Rouche' Capelli per l'esistenza, e Cramer per la risoluzione.
4) Quanto a nucleo ed immagine basta usare le definizioni. E' standard poi costruire la matrice rispetto alla base, basta usare anche qui la definizione.
5) Visto che l'esercizio lo chiede, ti conviene trovare prima tutti gli autovettori di f, e poi vedere se c'e' una base per R^3 fatta da autovettori per f.
6) La condizione mi sa che e' l'ortogonalita' tra v e w, per le note proprieta' del prodotto vettoriale. Poi e' un facile conto risolvere l'equazione data. Metti x incognito e sviluppi il prodotto vettoriale.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[placidosh]

Grazie Mille Luca,sei un grande
Ho qualche dubbio su come si applica la definizione nell'esercizio 4 per trovare la matrice associata alla base...e poi non so come impostare l'equazione nel sesto esercizio..
Ringraziandoti anticipatamente aspetto fiducioso una tua risposta...so ke mi stupiarai nuovamente

PS Naturalmente si accettano consigli da tutti(vi prego se potete risp presto ke mercoledi' ho l'esame).

[Camillo]

Riprendo l’esercizio 2 prima sul campo dei complessi e poi sul campo dei reali
a)CAMPO DEI COMPLESSI :W non è un sottospazio vettoriale . Vediamo di dimostrarlo.
Premetto alcune considerazioni dedotte applicando le condizioni imposte.
Beta = -alfa ; gamma è un numero reale perché deve essere : gamma = gamma coniugato e questo è possibile se e solo se gamma è reale ; delta = 0.
Sia :alfa = a+ib ; beta = -(a+ib) ; gamma = c ; delta = 0
[ naturalmente a,b,c sono numeri reali]
Il generico vettore w di W è rappresentato da :
[ (a+ib), -(a+ib); c, 0 ].
E’ facile mostrare che la somma di due vettori di W è un vettore che appartiene ancora a W.
Invece , come dice Luca il prodotto di un numero complesso per un vettore di W dà un vettore che non appartiene a W .
Infatti , il numero complesso per cui moltiplico il vettore sia ad es . (e+if).
Il prodotto è : ( e+if)*[(a+ib),-(a+ib); c, 0 ] =
[(ae-fb+i(af+be)), -(ae-fb+i(af+be)) ; (ce+icf), 0].
Quindi il vettore prodotto non appartiene a W in quanto l’elemento : ce+icf è in generale un numero complesso , mentre per appartenere a W , deve essere sempre un numero reale.

b)CAMPO DEI REALI : W è un sottospazio vettoriale.Vediamo di dimostrarlo .
Il generico vettore w di W è sempre : [ (a+ib), -(a+ib); c, 0 ].
E’ sempre vero che la somma di due vettori appartiene ancora a W
( questo era vero anche nel caso precedente).
Vediamo il prodotto adesso di un numero reale : h per il vettore w di W .
Si ottiene : [(ah+ihb), -(ah+ihb) ; hc , 0] che appartiene a W , infatti hc è un numero reale .

DIM W : 3 ( tre variabili libere : a,b,c) ; infatti ogni vettore
[ (a+ib), -(a+ib); c, 0 ] di W può essere scritto come :
a[1,-1;0,0] +b[i, -i ;0 ,0] +c[ 0,0 ; 1,0] e questi 3 vettori sono linearmente indipendenti e formano quindi una base .
Una base di W quindi è :
[ 1 ,-1 ; 0 ,0], [ i, -i ;0 , 0] , [ 0, 0 ; 1 ,0].

Spero non ci siano errori ..
Camillo

[placidosh]

grazie Camillo,
sei stato chiarissimo come sempre..ora ho capito...
ma diciamo mi restano gli ultimi due dubbi e sono proprio quelli scritti nel post del 24/04/05..
spero tu mi sappia dare una risposta al piu' presto xkè mercoledi pomeriggio ho l'esame ;-(
grazie ancora

[Luca.Lussardi]

La matrice richiesta all'esercizio 4 e' abbastanza facile: per definizione e' quella che ha per colonne le componenti (rispetto ad una base nel codominio) dei vettori della base scelta del dominio, trasformati dall'endomorfismo.

Per l'equazione da impostare, basta scrivere i vettori in componenti, e sviluppare il prodotto vettoriale, niente di difficile. Verra' poi un sistema da risolvere.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[Camillo]

Per l'esercizio 6 vediamo come procedere:

sia il vettore x= x1*i+x2*j+x3*k
x vett v = w = i+k.

x vett v = det[ i,j,k;x1,x2,x3;1 ,1, -1]=i(-x2-x3)+j(x1+x3)+k(x1-x2)
e quindi ecco il sistema da risolvere per trovare le componenti di x :

( -x2-x3 = 1
) x1+x3 = 0
) x1-x2 = 1 da cui si ottiene:

x3= -x1 ; x2= x1-1 ; x1 = x1 quindi infinite alla 1 soluzioni .
il vettore x è quindi =x1*i +(x1-1)j -x1*k .

La condizione su v e w affinchè il sistema ammetta soluzione è che siano ortogonali ( in quanto w è la risultante del prodotto vettoriale tra x e v); allora il prodotto scalare : v scal w deve essere nullo.
Infatti : v*w= 1*1+1*0-1*1 = 0.
Ma allora anche : x scal w deve dare 0 , in quanto , per la stessa ragione i due vettori sono ortogonali.
Imponendo questa condizione ottengo :
x1*1+x2*0+x3*1 = 0 da cui ottengo :
x1 = x1 ; x2 = x2 ; x3= -x1.
Se la paragono con la soluzione trovata prima usando il prodotto vettoriale noto che in questo caso x2 non viene definita .
Ritengo quindi che la condizione di perpendicolarità sia troppo " debole" e non sufficiente a risolvere univocamente il problema; su questo punto gradirei un parere da parte di Luca .

Camillo

[Luca.Lussardi]

Sicuramente la condizione di ortogonalita' e' troppo debole per avere unicita' della soluzione. Ma non si chiedeva l'unicita', bensi' l'esistenza di almeno una soluzione. Credo che allora la condizione di ortogonalita' sia sufficiente per garantire l'esistenza.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[Camillo]

Infatti l'esercizio spingeva verso l'uso della ortogonalità, chiedendo prima di verificare che v e w sono ortogonali e dopo di risolvere il problema.

@ placidosh : tutto chiaro ?

Camillo