Applicazioni Lineari

[Fabry_Shock]

Ciao a tutti. Ho dei grossi problemi con Algebra (ditemi se sono OT), ed in particolare con le Applicazioni Lineari...
Esiste un modo di procedere quando ci si trova davanti ad esercizi di questo tipo:

Si consideri l' applicazione lineare T:R^4---->R^3
(x,y,z,t) ----> (x+6y+t, 6x-7y+z+t, 8x+5y+z+3t)
a) si calcoli una base per il nucleo e una per l' immagine

Più che la soluzione (cmq ben accetta!!) mi piacerebbe capire come comportarmi quando data un app. lineare devo trovare il nucleo, una sua base, l' immagine... dal libro di testo non capisco nulla

[Luca.Lussardi]

Il modo piu' rapido ed indolore e' quello di usare la definizione. Ad esempio per cercare i vettori del nucleo dovrai risolvere un sistema lineare omogeneo. Per l'immagine potrebbe essere un'ottima cosa prima capire che dimensione ha (la Teoria lo permette), poi cercare a mano una base.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[Fabry_Shock]

<blockquote id="quote"><font size="1" face="Verdana, Arial, Helvetica" id="quote">quote:<hr height="1" noshade id="quote"><i>Originally posted by Luca.Lussardi</i>

Il modo piu' rapido ed indolore e' quello di usare la definizione. Ad esempio per cercare i vettori del nucleo dovrai risolvere un sistema lineare omogeneo. Per l'immagine potrebbe essere un'ottima cosa prima capire che dimensione ha (la Teoria lo permette), poi cercare a mano una base.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it
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Grazie tantissimo Luca,
ora provo a ragionare un po' con calma su quanto mi hai detto...
speriamo bene!!
Solo una cosa.. se la dimensione è per definizione il numero dei vettori in una base, come faccio a sapere la dimensione dell' immagine se non ho la base?
...Forse grazie al teorema della dimensione (dimV = dimKerT + dimImmT) ????

[Luca.Lussardi]

Esattamente.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[Fabry_Shock]

Scusate, ma sono proprio duro di comprendonia...
Allora ho ragionato su quanto mi ha detto Luca.
Per trovare una base per il nucleo ricorro alla definizione:
So che il nucleo e' cosi' definito:
T:V---->W
KerT=(v appartiene a V tale che T(v)=0)

e che un insieme di vettori (v1, v2, v3,..) e' una BASE di V se :
1) V= Span(v1, v2,v3,..)
2) v1, v2, v3,... sono linearmente indipendenti

Quindi risolvo il sistema lineare omogeneo:
x+6y+t=0
6x-7y+z+t=0
8x+5y+z+3t=0
come si puo' risolvere questo sistema, visto che le incognite sono 4 e le equazioni 3? Uffi, sono gia' bloccato...

[Luca.Lussardi]

Prima controlla se ha soluzioni, con il Teorema di Rouche' Capelli. Poi, se ne ha, lo rendi quadrato considerando una variabile come parametro, e lo risolvi con il Teorema di Cramer.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[Camillo]

@ Fabry_Shock: incomincia a determinare il rango della matrice dei coefficienti; poi determina il rango della matrice completa(con i termini noti): se il rango non cambia( e in questo caso non cambia) il T. di Rouchè Capelli ti assicura che il sistema ha soluzioni.
Adesso si tratta di trovarle....

Camillo