Dualità aiuto!!!

[Alexiei]

Salve, sonouno studente universitario alle prese con lo studio dell'algebra lineare.
Sto "studiando" la dualità, tra virgolette perchè non riesco proprio a capirla, non risco proprio ad arrivarci concettualmente e diciamo ad "immaginarmi" uno spazio duale per esempio. Studio molto la teoria di questo capitolo ma mi trovo sempre arreso. Qualcuno è in grado di spiegarmi in parole semplici il concetto alla base della dualità?

Vi ringrazio

[killing_buddha]

Sintetizzando al massimo, questo è quello che si può dire.

1. Definizione (spazio duale): Sia \( \displaystyle V \) uno spazio vettoriale di dimensione finita sul corpo \( \displaystyle \mathbb{K} \) . Definiamo come spazio duale di \( \displaystyle V \) lo spazio vettoriale delle applicazioni lineari da \( \displaystyle V \) su \( \displaystyle \mathbb{K} \) .
   
   \( \displaystyle V^* := \text{Hom}\,(V,\mathbb{K})\qquad\qquad\eqno{(\text{D})} \)
   
2. Osservazione: Se \( \displaystyle V \) è spazio vettoriale di dimensione finita su \( \displaystyle \mathbb{K} \) , la sua dimensione è
   
   \( \displaystyle \dim_\mathbb{K}V^* = \dim_\mathbb{K}\text{Hom}\,(V,\mathbb{K}) = \dim_\mathbb{K}V\cdot \dim_\mathbb{K}\mathbb{K}=\dim_\mathbb{K} V \)
   
   Fissata una base \( \displaystyle \mathcal{V}=\{v_1,\dots,v_n\} \) di \( \displaystyle V \) , una base di \( \displaystyle V^* \) è fatta da \( \displaystyle \{v_1^*,\dots,v_n^*\} \) , ove \( \displaystyle v_j^* \colon V\to \mathbb{K} \) è definita da \( \displaystyle v_j^*(v_i)=\delta_{ij} \) , intendendo \( \displaystyle \delta_{ij} \) come il simbolo di Kronecker.
   
3. Proposizione: In base a quanto osservato in (2), lo spazio \( \displaystyle V \) è (non canonicamente) isomorfo al suo duale, mediante la mappa che manda \( \displaystyle u=\sum_{i=1}^n \alpha_i v_i \) in \( \displaystyle u^*=\sum_{i=1}^n \zeta_i v_i^* \) .
4. Definizione (applicazione bilineare): Siano \( \displaystyle U,V \) spazi vettoriali di dimensione finita su \( \displaystyle \mathbb{K} \) , in particolare sia \( \displaystyle \dim_\mathbb{K}U=m, \dim_\mathbb{K}V=n \) . Una applicazione bilineare tra \( \displaystyle U \) e \( \displaystyle V \) è una applicazione \( \displaystyle g\colon U\times V\to \mathbb{K} \) che sia lineare in ciascuna delle due variabili. L'insieme \( \displaystyle \text{Bil}\,(U\times V,\mathbb{K}) \) delle applicazioni bilineari da \( \displaystyle U\times V \) in \( \displaystyle \mathbb{K} \) è uno spazio vettoriale di dimensione finita su \( \displaystyle \mathbb{K} \) e vale
   
   \( \displaystyle \dim_\mathbb{K}\text{Bil}\,(U\times V,\mathbb{K}) = \dim_\mathbb{K}U\cdot\dim_\mathbb{K}V=mn \)
   
   Una sua base è costituita dall'insieme delle applicazioni \( \displaystyle \epsilon_{ij} \) definite da
   \( \displaystyle \displaystyle
   \epsilon_{ij}(u_r,v_s) =
   \begin{cases}
   1 & \text{se}\, (i,j)=(r,s)\\
   0 & \text{altrimenti}
   \end{cases} \)
   (edit) \( \displaystyle g\colon U\times V \to \mathbb K \) si dice non degenere se \( \displaystyle g(u,v)=0 \) per ogni \( \displaystyle v\in V \) (risp.: per ogni \( \displaystyle u\in U \) ) implica che \( \displaystyle u=0 \) (risp: implica che \( \displaystyle v=0 \) ).
5. Definizione (dualità): Una applicazione bilineare non degenere tra \( \displaystyle V \) e il suo duale si dice dualità.
6. L'applicazione bilineare
   
   \( \displaystyle \circ\colon V\times V^* \to \mathbb{K} \)
   \( \displaystyle (v,\xi)\longmapsto v\circ \xi = \xi(v)\in\mathbb{K}\qquad\qquad\eqno{(\text{CD})} \)
   
   è non degenere: essa si dice dualità canonica tra \( \displaystyle V \) e \( \displaystyle V^* \) . Fissato un vettore \( \displaystyle v\in V \) , essa si "fattorizza" come \( \displaystyle \varphi_v=\circ(v,\cdot)\colon V^*\to \mathbb{K} \) : è la mappa che manda \( \displaystyle \xi \) in \( \displaystyle \xi(v) \) per \( \displaystyle v\in V \) fissato. In tal modo \( \displaystyle \varphi_v \in \text{Hom}\,(V^*,\mathbb{K})=: V^{**} \) . Gli spazi \( \displaystyle V \) e \( \displaystyle V^{**} \) sono allora canonicamente isomorfi mediante la mappa di "valutazione" \( \displaystyle \text{ev}_v\colon V\to V^{**} \) che manda \( \displaystyle v \) in \( \displaystyle \varphi_v \) .
   
7. Osservazione: Una data applicazione bilineare \( \displaystyle g \) non degenere induce gli isomorfismi di spazi vettoriali
   
   \( \displaystyle \text{Hom}\,(V, U^*) \cong \text{Bil}\,(U\times V,\mathbb{K}) \cong \text{Hom}\,(U,V^*)\qquad\qquad\eqno{(\text{BD})} \)
   
   dati dalle mappe \( \displaystyle v\mapsto g(\cdot,v) \) e \( \displaystyle u\mapsto g(u,\cdot) \)

[dissonance]

@killing_buddha: Manca la definizione di applicazione bilineare non degenere, credo convenga darla per non confondere Alexiei.

[Alexiei]

Mi sto sforzando di comprendere bene le definizioni che mi avete dato ( grazie! ), ma mi servirebbe capire in maniera un pò più "PALPABILE" la differenza tra unospazio duale ed uno vettoriale ad esempio, non so se riesco a farmi capire. Studiando mi sono convinto che lo spazio duale e la dualità hanno stretta correlazione con le operazioni di trasposizione e gli spazi vettoriali perpendicolari, non so se è giusto però perchè su questo argomento ho una confusione totale.

Grazie mille della pazienza!

[dissonance]

Mi sto sforzando di comprendere bene le definizioni che mi avete dato ( grazie! ),

Prego, ma io non ho fatto nulla, ha fatto tutto killing_buddha!

ma mi servirebbe capire in maniera un pò più "PALPABILE" la differenza tra unospazio duale ed uno vettoriale ad esempio, non so se riesco a farmi capire. Studiando mi sono convinto che lo spazio duale e la dualità hanno stretta correlazione con le operazioni di trasposizione e gli spazi vettoriali perpendicolari, non so se è giusto però perchè su questo argomento ho una confusione totale.

Eh ma non ti preoccupare perché è normale, si tratta di un concetto dai mille significati molto diversi tra loro. Parlo un po' a ruota libera, per il significato preciso di ciò che dico riferisciti al post di killing_buddha.

Lo spazio duale è l'ambiente in cui vivono le forme lineari (*), degli aggeggi che possono agire linearmente sui vettori, restituendo dei numeri. Sotto questo ombrello cadono una miriade di oggetti matematici e te ne elenco qualcuno. L'esempio più scemo (ma essenziale) riguarda lo spazio vettoriale \( \displaystyle \mathbb{R}^n \) , i cui elementi consideriamo come vettori colonna \( \displaystyle \begin{pmatrix} \xi^1 \\ \vdots \\ \xi^n \end{pmatrix} \) . Allora i vettori riga \( \displaystyle \begin{pmatrix} \eta_1 & \ldots & \eta_n \end{pmatrix} \) sono delle forme lineari, e la maniera che hanno di agire è quella ovvia: \( \displaystyle \displaymath \begin{pmatrix} \eta_1 & \ldots & \eta_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \xi^1 \\ \vdots \\ \xi^n \end{pmatrix} =\sum_{i=1}^n \eta_i \xi^i \)
(Sostanzialmente, inoltre, è a questo che ci si riconduce in tutti gli spazi vettoriali di dimensione finita).
Geometricamente questo è significativo. Sia infatti \( \displaystyle M \) un iperpiano di \( \displaystyle \mathbb{R}^n \) : allora esso si può rappresentare con una equazione del tipo \( \displaystyle \displaymath \sum_{i=1}^n \eta_i x^i =0 \) Ti ricorda niente? Questa corrispondenza tra iperpiani e forme lineari, unita alla ovvia corrispondenza tra forme lineari e punti dello spazio, è importante in geometria proiettiva.

Quindi una maniera di interpretare le forme lineari (in dimensione finita) è pensare ad esse come alle equazioni di iperpiani. (Questa interpretazione viene da Cailotto, pag. 81, §4.8).

Ma le forme lineari intervengono in moltri altri ambiti e con significato molto diverso da questo. Prendiamo ad esempio uno spazio vettoriale di dimensione infinita come \( \displaystyle C^1 (\mathbb{R}^n) \) , lo spazio vettoriale delle funzioni differenziabili con continuità su tutto \( \displaystyle \mathbb{R}^n \) . In questo caso i vettori sono delle funzioni e una operazione lineare su di esse è la derivazione parziale in 0, che ad una funzione \( \displaystyle f \) associa il numero \( \displaystyle \frac{\partial{f}}{\partial{x_i}}(0) \) . Di più: comunque si prenda un vettore di direzione, la derivata direzionale in 0 è una forma lineare in maniera del tutto analoga. Abbiamo così creato una copia di \( \displaystyle \mathbb{R}^n \) nello spazio vettoriale duale a \( \displaystyle C^1 (\mathbb{R}^n) \) : questo è molto importante in geometria differenziale.

Come puoi immaginare si potrebbe andare avanti MOLTO a lungo. Le applicazioni di questo concetto sono moltissime (e non si limitano alla geometria). Usandolo concretamente, con il tempo riuscirai a fartene una idea precisa.

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(*) anche funzionali lineari o covettori, tutti sinonimi ma con sfumature diverse di significato.

[bernardo1504]

Qualcuno potrebbe gentilmente darmi un ulteriore chiarimento su questa parte del post:

"Questa corrispondenza tra iperpiani e forme lineari, unita alla ovvia corrispondenza tra forme lineari e punti dello spazio, è importante in geometria proiettiva."

Grazie mille

[dissonance]

Sono passati dieci anni, chi cacchio si ricorda cosa stavo pensando all'epoca. Poi la geometria proiettiva l'ho toccata pochino in tutto questo tempo. Mi pare che qualcosa avevo letto sul libro di Sernesi, "Geometria 1", e poi c'erano le dispense dei padovani. Chissà se passa di qua Martino ci può dare qualche link fresco.

[bernardo1504]

Mi aveva molto incuriosito l'argomento e malgrado il tempo trascorso ho osato provare. La conversazione era stata citata in un altro post che avevo letto di recente.
Ho praticamente dissotterrato un fossile