Matrice diagonalizzabile?

[Fabry_Shock]

Quando una matrice e' diagonalizzabile?
Una volta trovati autovalori e autovettori di una matrice, come faccio a sapere se la matrice e' diagonalizzabile?
Come faccio a sapere se gli autovettori trovati formano una base?

Scusate le tante domande, ma DEVO capire!

[Tipper]

Una matrice è diagonalizzabile se per ogni autovalore la molteplicità algebrica e quella geometrica coincidono.
In particolare se la molteplicità algebrica di ogni autovalore è 1 allora la matrice è diagonalizzabile.
La molteplicità algebrica di un autovalore è il numero delle volte che questo azzera il polinomio caratteristico.
Ad esempio se tu avessi l^2=0 l'autovalore l=0 azzera due volte il polinomio caratteristico (è di 2° grado).
La molteplicità geometrica di un autovalore è la dimensione dell'autospazio generato da tale autovalore.
La dimensione dell'autospazio è il numero di vettori che compongono la base, o detto in altri termini il maggior numero di vettori linearmente indipendenti che si possono tirar fuori da tale autospazio.

[Fabry_Shock]

Porca miseria....
non ho capito niente

[david_e]

Detto terra-terra:

Se hai una matrice n x n devi riuscire a trovare partendo dai k (k<=n) autovalori n autovettori.

Se ne trovi di meno (o due o piu' sono uguali o comunque scrivibili come combinazione lineare degli altri) nel fare i conti allora la matrice non e' diagonalizzabile... (o hai sbagliato i conti )

In altri termini se la matrice X degli autovettori ha det diverso da zero la matrice e' diagonalizzabile altrimenti no!

Comunque se hai gli autovalori tutti diversi sicuramente la matrice e' diag. Se 2 o piu' autovalori sono uguali basta preoccuparsi di vedere se gli autovettori corrispondenti sono linearmente dipendenti o meno.

[Fabry_Shock]

grazie, ora e' piu' chiaro!!